Lineare Kombination von zwei zufälligen Nicht-Normalen, die immer noch zur selben Familie gehören

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Es ist bekannt, dass eine lineare Kombination von 2 zufälligen Normalvariablen auch eine zufällige Normalvariable ist. Gibt es gemeinsame nicht normale Verteilungsfamilien (z. B. Weibull), die diese Eigenschaft ebenfalls teilen? Es scheint viele Gegenbeispiele zu geben. Beispielsweise ist eine lineare Kombination von Uniformen typischerweise nicht einheitlich. Gibt es insbesondere nicht normale Verteilungsfamilien, in denen beide der folgenden Bedingungen zutreffen:

  1. Eine lineare Kombination von zwei Zufallsvariablen aus dieser Familie entspricht einer gewissen Verteilung in dieser Familie.
  2. Die resultierenden Parameter können als Funktion der ursprünglichen Parameter und der Konstanten in der linearen Kombination identifiziert werden.

Diese lineare Kombination interessiert mich besonders:

Y.=X.1w+X.2(1- -w2)

wobei und aus einer nicht normalen Familie mit den Parametern und werden und aus derselben nicht normalen Familie mit dem Parameter .X.1X.2θ1θ2Y.θY.=f(θ1,θ2,w)

Ich beschreibe der Einfachheit halber eine Verteilungsfamilie mit 1 Parameter, bin aber offen für Verteilungsfamilien mit mehreren Parametern.

Außerdem suche ich nach Beispielen, in denen auf und genügend Parameterraum für Simulationszwecke vorhanden ist. Wenn Sie nur ein Beispiel finden, das für einige sehr spezifische und , wäre dies weniger hilfreich.θ1θ2θ1θ2

Anthony
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1
Vielen Dank. Ich suche wirklich nach gewöhnlichen nicht normalen Familien (zB Weibull). Ich werde auch versuchen zu klären, dass die resultierenden Parameter Funktionen der ursprünglichen Parameter für eine Vielzahl von ursprünglichen Parametern sein sollten. Das heißt, es sollte genügend Parameterraum für Simulationszwecke vorhanden sein.
Anthony
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Unter der Annahme , wir sprechen über beliebige Linearkombinationen von unabhängigen Zufallsvariablen gibt es die (Lévy) stabilen Verteilungen . Die gesamte Klasse solcher Verteilungen ist vollständig dadurch gekennzeichnet, dass ihre charakteristische Funktion eine bestimmte Form annimmt. Nur einige wenige haben Dichten mit bekannten Ausdrücken in geschlossener Form.
Kardinal
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Die von @cardinal erwähnten Alpha-Ställe sind eine Antwort, und wenn ich das richtig verstehe, die einzige Antwort, wenn die Parameter Position und Skalierung sein müssen, aber gibt es andere Antworten, wenn die Parameter nicht Position + Skalierung sein müssen? (Obwohl dies vielleicht so weit von dem entfernt ist, was OP wollte, dass dies eine separate Frage sein sollte).
Juho Kokkala
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Ich bin an Antworten interessiert, auch wenn die Parameter nicht Ort und Maßstab sind.
Anthony
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@ Juho Ich glaube, die Antwort im Allgemeinen ist ja. Verteilungssummen entsprechen (punktweisen) Summen von kumulativen Erzeugungsfunktionen (definiert als Logarithmus der charakteristischen Funktion), so dass das Schließen einer Menge von Verteilungen unter Summierung natürlich in der Menge aller Verteilungen enthalten ist, die (reelle) lineare Kombinationen sind von diesen cgf's.
whuber

Antworten:

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Es ist bekannt, dass eine lineare Kombination von 2 zufälligen Normalvariablen auch eine zufällige Normalvariable ist. Gibt es gemeinsame nicht normale Verteilungsfamilien (z. B. Weibull), die diese Eigenschaft ebenfalls teilen?

Die Normalverteilung erfüllt eine schöne Faltungsidentität: . Wenn Sie sich auf den zentralen Grenzwertsatz beziehen, würden beispielsweise diese Gammaverteilungen mit demselben Formkoeffizienten diese Eigenschaft teilen und sich als Gammaverteilungen zusammenfassen. Bitte beachten Sie einen Warnhinweis zum Aufruf des zentralen Grenzwertsatzes . Im Allgemeinen würden sich jedoch bei ungleichen Formkoeffizienten Gammaverteilungen durch eine Faltung "addieren", die keine Gammaverteilung, sondern eine Gammafunktion wäre, die eine hypergeometrische Funktion der ersten Art multipliziert, wie in Gl. (2) vonX.1N.[μ1,σ12]],X.2N.[μ2,σ22]]X.1+X.2N.[μ1+μ2,σ12+σ22]]Faltung zweier Gammaverteilungen . Die andere Definition des Hinzufügens, dh das Bilden einer Mischungsverteilung von nicht verwandten Prozessen, würde nicht notwendigerweise eine zentrale Grenze aufweisen, beispielsweise wenn die Mittel unterschiedlich sind.

Es gibt wahrscheinlich andere Beispiele, ich habe keine erschöpfende Suche durchgeführt. Die Schließung für die Faltung scheint nicht weit hergeholt zu sein. Für die lineare Kombination ist das Produkt von Pearson VII mit einem Pearson VII ein weiterer Pearson VII .

Carl
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Sie können unabhängige Gammas-Zufallsvariablen mit demselben Skalierungsparameter hinzufügen und ein weiteres Gamma mit demselben Skalierungsparameter erhalten, aber Sie können keine beliebigen linearen Kombinationen verwenden. Es gibt eine Reihe bekannter Verteilungen, für die Sie Summen, aber keine willkürlichen linearen Kombinationen verwenden und in dieser Familie bleiben können. (Es gibt hier bereits eine gelöschte Antwort, die den gleichen Fehler macht)
Glen_b -Reinstate Monica
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Es ist wahr, dass die Faltung zweier Gammaverteilungen , siehe Gl. 2 ergibt etwas anderes als eine Gammaverteilung, wenn Sie das meinen.
Carl
Der Artikel stellt klar fest, dass eine lineare Kombination von Gammas kein Gamma ist (abgesehen von der gleichen Ausnahme, die ich bereits erwähnt habe) und völlig im Einklang mit dem steht, was ich gesagt habe. Ich bin nicht sicher, worüber Sie mich fragen, aber der Artikel unterstützt meine Behauptung, dass Ihre Antwort etwas zu behaupten scheint, was nicht der Fall ist.
Glen_b -State Monica
Nicht fragen, sagen, was die Summe im Allgemeinen ist. Ich habe die Antwort geändert, um "einige" zu sagen. Wenn das nicht gut genug ist, werde ich meinen bescheidenen Versuch, zu helfen, löschen. Und dass ich frage: "Gut genug oder nicht?"
Carl
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Es ist jetzt ein bisschen hell für eine Antwort. Vielleicht möchten Sie einige der Informationen aus Ihrem Kommentar in die Antwort verschieben (zumindest die Informationen zu dem, was in dem
Artikel enthalten ist,
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Es ist bekannt, dass eine lineare Kombination von 2 zufälligen Normalvariablen auch eine zufällige Normalvariable ist. Gibt es gemeinsame nicht normale Verteilungsfamilien (z. B. Weibull), die diese Eigenschaft ebenfalls teilen?

P.P.P.

X.1,X.2,X.3IID P.(ein)(b)(c>0)(d):: einX.1+bX.2DistcX.3+d.

d=0

Die abgabenstabilen Verteilungen können als eigenständige Verteilungsfamilie betrachtet werden, und in diesem Sinne ist sie die einzige Verteilungsfamilie mit dieser Stabilitätseigenschaft, da sie (per Definition) alle Verteilungen mit dieser Eigenschaft umfasst. Die Normalverteilung fällt in die Klasse der abgabenstabilen Verteilungen, ebenso wie die Cauchy-Verteilung , die Landau-Verteilung und die Holtsmark-Verteilung .

Ben - Monica wieder einsetzen
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