Gibt es Ähnlichkeits- oder Abstandsmaße zwischen zwei symmetrischen Kovarianzmatrizen (beide mit den gleichen Abmessungen)?
Ich denke hier an Analoga zur KL-Divergenz von zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen oder dem euklidischen Abstand zwischen Vektoren, außer wenn sie auf Matrizen angewendet werden. Ich stelle mir vor, dass es einige Ähnlichkeitsmessungen geben würde.
Idealerweise möchte ich auch die Nullhypothese testen, dass zwei Kovarianzmatrizen identisch sind.
distributions
hypothesis-testing
covariance-matrix
kullback-leibler
information-theory
Ram Ahluwalia
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Antworten:
Sie können jede der Normen (siehe Wikipedia zu verschiedenen Normen; beachten Sie, dass die Quadratwurzel der Summe der quadratischen Abstände √∥A−B∥p heißt Frobenius-Norm und unterscheidet sich vonL2-Norm, der Quadratwurzel des größten Eigenwerts von, obwohl sie natürlich erzeugen würden die gleiche Topologie). Der KL-Abstand zwischen den beiden Normalverteilungen mit dem gleichen Mittel (etwa Null) und den beiden spezifischen Kovarianzmatrizen ist inWikipedia auchalsverfügbar.∑i,j(aij−bij)2−−−−−−−−−−−−√ L2 1(A−B)2 12[tr(A−1B)−ln(|B|/|A|)]
Bearbeiten: Wenn eine der Matrizen eine modell-implizierte Matrix ist und die andere die Sample-Kovarianzmatrix, können Sie natürlich einen Likelihood-Ratio-Test zwischen beiden bilden. Meine persönliche Lieblingssammlung solcher Tests für einfache Strukturen findet sich in Rencher (2002) Methods of Multivariate Analysis . Weiterführende Fälle werden in der Kovarianzstrukturmodellierung behandelt, bei der ein vernünftiger Ausgangspunkt Bollen (1989) Strukturgleichungen mit latenten Variablen ist .
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Bezeichne und deine Matrizen mit der Dimension .Σ 2 pΣ1 Σ2 p
Bearbeiten: Ich habe den zweiten der beiden Vorschläge bearbeitet. Ich glaube, ich hatte die Frage falsch verstanden. Der auf Bedingungsnummern basierende Vorschlag wird häufig in robusten Statistiken verwendet, um die Qualität der Anpassung zu bewerten. Eine alte Quelle, die ich dafür finden konnte, ist:
Ich hatte ursprünglich das Det-Verhältnis-Maß aufgenommen:
Dies wäre der Bhattacharyya-Abstand zwischen zwei Gaußschen Verteilungen mit demselben Ortsvektor. Ich muss die Frage ursprünglich als zu einer Situation gehörend gelesen haben, in der die beiden Kovarianzen aus Proben von Populationen stammten, von denen angenommen wurde, dass sie die gleichen Mittel hatten.
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Ein von Herdin (2005) eingeführtes Maß für die Korrelationsmatrixdistanz, ein aussagekräftiges Maß für die Bewertung nichtstationärer MIMO-Kanäle, ist wobei die Norm die Frobenius-Norm ist.d=1−tr(R1⋅R2)∥R1∥⋅∥R2∥,
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Der Kovarianzmatrixabstand wird zum Verfolgen von Objekten in Computer Vision verwendet.
Die aktuell verwendete Metrik ist im Artikel "Eine Metrik für Kovarianzmatrizen" von Förstner und Moonen beschrieben.
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