Ist die Kovarianz standardisierter Variablen die Korrelation?

Ich habe eine grundlegende Frage. Sagen , dass ich zwei Zufallsvariablen haben, und Y . Ich kann sie standardisieren, indem ich den Mittelwert subtrahiere und durch die Standardabweichung dividiere, dh X s t a n d a r d i z e d = ( X - E ( X ) $X$$Y$ .$X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$

Ist die Korrelation von und Y , C o r ( X , Y ) dieselbe wie die Kovarianz der standardisierten Versionen von X und Y ? Das heißt, ist C o r ( X , Y ) = C o v ( X s t a n d a r d i z e d , Y s t a n d a r $X$$Y$$Cor(X, Y)$$X$$Y$?$Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$

$$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$$