Was ist die langfristige Varianz?

Wie ist die langfristige Varianz im Bereich der Zeitreihenanalyse definiert?

Ich verstehe, dass es für den Fall verwendet wird, dass die Daten eine Korrelationsstruktur aufweisen. Unser stochastischer Prozess wäre also keine Familie von $X_1, X_2 \dots$ iid Zufallsvariablen, sondern nur identisch verteilt?

Könnte ich eine Standardreferenz als Einführung in das Konzept und die mit seiner Schätzung verbundenen Schwierigkeiten haben?

Es ist ein Maß für den Standardfehler des Stichprobenmittelwerts bei serieller Abhängigkeit.

Wenn $Y_t$ IS kovarianzstationär mit $E(Y_t)=\mu$ und $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ (! In einer IId Einstellung, diese Menge wäre Null) , so daß $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$ . Dann

$$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$$ wobei Die erste Gleichheit ist definitiv, diezweite etwas schwieriger zu bestimmenund das dritte eine Folge der Stationarität, die impliziert, dass $\gamma_j=\gamma_{-j}$ .

Das Problem ist also in der Tat mangelnde Unabhängigkeit. Um dies deutlicher zu sehen, schreiben Sie die Varianz des Stichprobenmittelwerts als

$$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$$

Ein Problem bei der Schätzung der langfristigen Varianz ist, dass wir natürlich nicht alle Autokovarianzen mit endlichen Daten beobachten. Zu diesem Zweck werden Kernel (in der Ökonometrie "Newey-West" - oder HAC-Schätzer) verwendet.

$$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$$ $k$$\hat\gamma_j$$k$$k(0)=1$$\ell_T$

$$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$$