Es gibt ein Regressionsmodell mit mit a = 1,6 und b = 0,4 , das einen Korrelationskoeffizienten von r hat .
Wenn und Y dann umgeschaltet werden und die Gleichung zu X = c + d Y wird, wobei c = 0,4545 und d = 0,9091 , hat sie auch einen r- Wert von 0,60302 .
Ich hoffe, jemand kann erklären, warum auch 0,60302 ist .
Denken Sie daran, dass viele Einführungstexte definieren
Dann setzen wir durch Setzen von als x S x x = ∑ n i = 1 ( x i - ˉ x ) 2 und in ähnlicher Weise S y y = ∑ n i = 1 ( y i - ˉ y ) 2y x Sxx=∑ni=1(xi−x¯)2 Syy=∑ni=1(yi−y¯)2 .
Formeln für den Korrelationskoeffizienten , die Steigung der y- on- x- Regression (Ihr b ) und die Steigung der x- on- y- Regression (Ihr d ) werden häufig wie folgt angegeben:r y x b x y d
Dann ergibt das Multiplizieren von und ( 3 ) eindeutig das Quadrat von ( 1 ) :(2) (3) (1)
Alternativ werden die Zähler und Nenner der Brüche in , ( 2 ) und ( 3 ) häufig durch n oder ( n - 1 ) geteilt, so dass die Dinge in Bezug auf Stichproben oder geschätzte Varianzen und Kovarianzen gerahmt werden. Zum Beispiel ist aus ( 1 ) der geschätzte Korrelationskoeffizient nur die geschätzte Kovarianz, skaliert durch die geschätzten Standardabweichungen:(1) (2) (3) n (n−1) (1)
We then immediately find from multiplying(5) and (6) that
We might instead have rearranged(4) to write the covariance as a "scaled-up" correlation:
Then by substituting(7) into (5) and (6) we could rewrite the regression coefficients as β^y on x=rSDˆ(y)SDˆ(x) and β^x on y=rSDˆ(x)SDˆ(y) . Multiplying these together would also produce r2 , and this is @Karl's solution. Writing the slopes in this way helps explain how we can see the correlation coefficient as a standardized regression slope.
Finally note that in your caser=bd−−√=β^y on xβ^x on y−−−−−−−−−−√ but this was because your correlation was positive. If your correlation were negative, then you would have to take the negative root.
To work out whether your correlation is positive or negative, you simply need to regard the sign (plus or minus) of your regression coefficient — it doesn't matter whether you look at they -on-0x or x -on-y as their signs will be the same. So you can use the formula:
wheresgn is the signum function, i.e. is +1 if the slope is positive and −1 if the slope is negative.
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