Summe der quadratischen Poisson-Wahrscheinlichkeitsmassen

Es sei die Wahrscheinlichkeitsmassen einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter . Ich suche die Summe ihrer Quadrate, als Funktion von . Mit anderen Worten, ich interessiere mich für (das Exponential von) der Renyi-Entropie zweiter Ordnung einer Poisson-Verteilung.$(p_k)_{k=0, \dots, \infty}$$\lambda$

Hintergrund:

• Ich möchte dies verwenden, um Brier- und sphärische Scores zu bewerten .

• Czado et al. (2009) schreiben, dass dieser Ausdruck analytisch ausgewertet werden kann, aber keine weiteren Informationen liefert, und ich stecke irgendwie fest.

• Nein, das sind keine Hausaufgaben, obwohl ich mir das vorstellen könnte ;-) Hinweise oder Hinweise auf die Literatur wären fast so willkommen wie eine vollständige Lösung.

• Hier ist die analoge Frage für die negative Binomialverteilung.

Zögern Sie nicht, WolframAlpha zu verwenden, um die Summe einer Serie zu erhalten. Oder brauchen Sie einen mathematischen Beweis?

Dies ergibt . Der Link zur Dokumentation der Bessel-Funktion ist dieser .$\exp(-2\lambda)I_0(2\lambda)$$I_0$

Eigentlich würde der Beweis hier nur die von bedeuten .$I_0$

Wenn Sie diese Bessel-Funktion mit R auswerten möchten, können Sie dies mit Hilfe des gslPakets tun :

> library(gsl)
> lambda <- 1
> exp(-2*lambda)*bessel_I0(2*lambda)
[1] 0.3085083
> sum(dpois(0:100, lambda)^2)
[1] 0.3085083