MLE eines multivariaten Hawkes-Prozesses

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Ich habe Probleme mit der Implementierung des Maximum-Likelihood-Schätzers für einen multivariaten Hawkes-Prozess (HP). Während der analytische Ausdruck für eine Log-Likelihood-Funktion eines univariaten HP leicht online zu finden ist (z. B. Ozaki, 1979), scheint es unterschiedliche (inkonsistente oder äquivalente?) Versionen der Log-Likelihood-Funktion eines multivariaten HP zu geben dort draußen. Ich habe auch versucht, den Schätzer selbst unten abzuleiten, und ich erhalte noch ein weiteres Ergebnis (ich bin jedoch sehr neu in diesem Thema). Könnte jemand das für mich klären? Vielen Dank!

Dies ist meine eigene Ableitung (ich folge der in Laub et al., 2015 verwendeten Notation). Betrachten Sie eine Sammlung von Zählprozessen mit den beobachteten Ankunftszeiten für jeden Zählprozess ( und a) natürliche Zahl). Definieren Sie eine multivariate HP mit exponentiell abfallenden Exiktationsfunktionen, sodass die Intensitäten . Für diese m-variierte HP ist die Log-Wahrscheinlichkeit gleich der Summe der einzelnen Log-Wahrscheinlichkeiten, dh:N = ( N 1 , . . , N m ) t i , j i = 1 , . . , m j λ i ( t ) = λ i + m j = 1t j , k < t α i , j e - β i , j ( t -mN=(N1,..,Nm)ti,ji=1,..,mj lnL(t)lnL(t)= m j = 1 lnL j (t)λich(t)=λich+j=1mtj,k<tαich,je- -βich,j(t- -tj,k)lnL.(t)lnL.(t)=j=1mlnL.j(t)mit jeder einzelnen Komponente .lnL.j(t)=- -0T.λj(u)du+0T.lnλj(u)dN.j(u)

Konzentrieren wir uns zunächst auf den ersten Teil, den wir als Kompensator .Λ

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die Kombination mit den Ergebnissen für die anderen Teile der Log-Wahrscheinlichkeit sollte ergeben: lnL.1(tich)=- -λ1T.- -α1,1β1,1f=1F.[e- -β1,1(t1,F.- -t1,f)- -1]]- -α1,2β1,2G=1G[e- -β1,2(t2,G- -t2,G)- -1]]+f=1F.ln[λ1+j=12α1,jR.1,j(f)]]

mit . Ein ähnlicher Ausdruck kann für . ln L 2 ( t i )R.1,j(f)=tj,k<t1,fe- -β1,j(t1,f- -tj,k)lnL.2(tich)

Wenn ich dieses Ergebnis jedoch mit anderen Artikeln vergleiche, stelle ich einige Unterschiede fest. Zum Beispiel ist in Toke (Folie 56) der Ausdruck für den Kompensator sehr unterschiedlich (summiert sich über jedes Element für jeden Ereignistyp) und es gibt auch keinen Term. Als nächstes ist in Crowley (2013) (S. 29) der Ausdruck für den Kompensator viel ausführlicher. Darüber hinaus bietet die Gleichung auf 2.8 (Seite 9) in Zheng (2013) erneut eine Alternative (summiert sich über eine Teilmenge der Elemente für jeden Ereignistyp) (Hinweis: Am Ende des Dokuments befindet sich eine Matlab-Implementierung). Der Artikel, der hauptsächlich dem ähnelt, was ich finde, ist Seite 6 in Carlsson et al. (2007). Wie Sie sehen, bin ich eindeutig verwirrt. Was ist die richtige Wahrscheinlichkeitsfunktion, die ich programmieren sollte?λichT.

Verweise:

  • Ozaki, 1979, Maximum-Likelihood-Schätzung von Hawkes 'selbsterregenden Punktprozessen

  • Crowley, 2013, Punktprozessmodelle für multivariate hochfrequente Daten mit unregelmäßigem Abstand

  • Laub, Taimre & Pollett, 2015, Hawkes Processes

  • Zheng, 2013, Hochfrequenzdynamik des Auftragsflusses

  • Carlsson, Foo, Lee & Shek, 2007, Hochfrequenz-Handelsprognose mit dem bivariaten Hawkes-Prozess

Pilik
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Wenn Sie eine Antwort darauf wünschen, warum sich Ihr Ergebnis von einer bestimmten Referenz unterscheidet, empfehle ich mindestens, einen Link zur Referenz hinzuzufügen. Besser noch, geben Sie die genauen Ergebnisse der Referenz in Ihrer Frage an und erklären Sie ausführlich, warum Sie der Meinung sind, dass sie von Ihrem Ergebnis abweicht. Dies erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass jemand eine Antwort gibt.
NRH
Der Link zu meinem Artikel
Crow
Hast du eine Antwort auf diese Frage bekommen? Ich habe das Gleiche bemerkt und es ist sehr frustrierend. Sogar auf der Wikipedia-Seite ist die Funktion anders: en.wikipedia.org/wiki/Point_process#Likelihood_function
Freelunch

Antworten:

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T.=t1,F.=t2,Ge- -βich,1(T.- -t1,f)- -1e- -βich,2(T.- -t2,G)- -1, beziehungsweise. Ansonsten sieht die Ableitung korrekt aus.

tj,kT.

λich(tich,j)

λichλichT.

NRH
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