Geschlossene Form der Funktion in Bezug den natürlichen Parameter für die logarithmische Reihe Verteilung?

Während ich hier eine andere Frage beantwortete , erwähnte ich die logarithmische Reihenverteilung als mögliches Modell für Arten pro Gattung.

Als ich mir die PMF ansah, als ich antwortete, stellte ich fest, dass es sich um eine exponentielle Familie handelte (eine Tatsache, die mir vorher nicht bewusst war).

Die Parametrisierung des pmf auf der Wikipedia-Seite (die bis zur Änderung der Symbole die einzige Form ist, in der ich sie gesehen habe) ist von der Form

Dabei ist die Normalisierungskonstante.$c(p)=\frac{1}{\log(\frac{1}{1-p})}=-\frac{1}{\log(1-p)}$

Wenn wir es in "Standardform" für die Exponentialfamilie untersuchen, sehen wir den natürlichen Parameter (und auch, dass die ausreichende Statistik , so dass die MLE für eine Konstante sein sollte Funktion des Stichprobenmittelwerts, und in diesem Fall würden wir erwarten, dass MLE der Methode der Momente entspricht, was sich als der Fall herausstellt.$\theta=\log(p)$$T(x)=x$$p$

[Es sieht also so aus, als hätten wir ein glm mit einem Modell , dann sollte für ausreichen .]$\theta=\log p=X\beta$$X'y$$\beta$

Es ist einfach genug, als Funktion von abzuleiten (die Reihe ist trivial zu summieren) oder (in Bezug auf die Exponentialfamilie betrachtet) zu nehmen und so oder so in Begriffen zu schreiben von :$\mu$$p$$b'(\theta)$$\mu$$\theta$

Es ist sogar durchaus möglich, die Varianzfunktion zu berechnen .$V(\mu)$

Mir ist jedoch nicht sofort klar, wie diese mittlere Funktion invertiert werden kann, um (oder äquivalent ) als Funktion von zu schreiben (was praktisch wäre, da es sich um die Verknüpfungsfunktion handelt). Es mag Müdigkeit sein oder es könnte tatsächlich schwierig sein, aber ich konnte nicht sehen, wie ich damit irgendwohin komme ... also zur Frage:$\theta$$p$$\mu$

Kann in geschlossener Form geschrieben werden?$\theta(\mu)$

( wird genauso gut tun)$p(\mu)$

Ich möchte nicht übermäßig pedantisch sein, was in geschlossener Form enthalten ist. Es ist nützlich, diese Dinge in Form bekannter Funktionen mit bekannten Eigenschaften schreiben zu können, die durch Aufrufen einer Funktion relativ einfach ausgewertet werden können. Ausdrücke in Form von mehr oder weniger "Standard" -Funktionen, die üblicherweise in Paketen verfügbar sind, wie Gammafunktionen oder sogar Lambert-W-Funktionen (oder sogar die verschiedenen Formen von hypergeometrischen Funktionen, denke ich) könnten zählen - ich bin mehr interessiert daran, welche nützlichen Dinge wir über sagen können und wie leicht wir es bewerten können (über den offensichtlichen Schritt hinaus, die obige Gleichung für -als-Funktion-von- und nur nach zu lösen nach Bedarf).$\theta(\mu)$$\mu$$\theta$$\theta$

Sie haben die Antwort in Ihrer Frage: Lambert-W.

In R können Sie verwenden

# Load library
  library(LambertW)

# Define function to obtain p from mu
  p <- function(mu) {1 - exp((1/mu) + W(-1/(mu*exp(1/mu)),-1))}

# Show (visually) that the function provides the correct values
  mu <- 1 + 10*c(0:100)/100
  plot(p(mu), mu, xlab="p", ylab="mu", las=1)
  pp <- c(1:99)/100
  lines(pp, -pp/((1-pp)*log(1-pp)))

erhalten

In Mathematica können Sie verwenden

data = Table[{1 - Exp[(1/mu) + 
       ProductLog[-1, -1/(mu Exp[1/mu])]], mu}, {mu, 1.01, 5, 0.01}];
cp = -1/Log[1 - p];
ListPlot[{data, Table[{p, cp p/(1 - p)}, {p, 0.1, 0.93, 0.01}]}, 
 PlotStyle -> {{PointSize[0.03]}, {PointSize[0.01]}}]  

(Mathematica wurde verwendet, um die allgemeine Form der Beziehung zur Bestimmung von aus zu bestimmen .)$p$$\mu$