Beispiel für eine nicht langschwänzige Verbreitung mit schwerem Schwanz

Aus der Lektüre über Schwere- und Langschwanzverteilungen habe ich verstanden, dass alle Schwere-Verteilungen Schwere-Verteilungen sind , aber nicht alle Schwere-Verteilungen sind Langschwere-Verteilungen .

Könnte jemand bitte ein Beispiel geben für:

• eine kontinuierliche, symmetrische Funktion mit mittlerer Dichte von Null, die langschwänzig ist
• Eine stetige, symmetrische Funktion mit einer mittleren Dichte von null, die einen dicken Schwanz hat, aber keinen langen Schwanz

Kann ich die Bedeutung ihrer Definitionen besser verstehen?

Es wäre sogar noch besser, wenn beide eine Einheitsvarianz hätten.

Die beiden Definitionen sind nahe beieinander, aber nicht genau gleich. Ein Unterschied besteht darin, dass die Überlebensrate begrenzt sein muss.

Bei den meisten dieser Antworten werde ich die Kriterien für eine stetige, symmetrische und endliche Verteilung ignorieren, da diese leicht zu bewerkstelligen sind, sobald wir eine nicht langschwänzige Verteilung mit endlicher Varianz gefunden haben .

---

Eine Verteilung ist schwer Schwanz , wenn für jedes t > 0 ,$F$$t\gt 0$

$$\int_\mathbb{R} e^{t x} dF(x) = \infty.\tag{1}$$

Eine Verteilung mit Überlebensfunktion ist langschwänzige wenn$G_F = 1-F$

$$\lim_{x\to \infty} \frac{G_F(x+1)}{G_F(x)} = 1.\tag{2}$$

Long-tailed-Distributionen sind schwer. Da zunimmt, kann die Grenze des Verhältnisses ( 2 ) 1 nicht überschreiten . Wenn es existiert und kleiner als 1 ist , dann nimmt G exponentiell ab - und das ermöglicht es dem Integral ( 1 ), zu konvergieren.$G$$(2)$$1$$1$$G$$(1)$

Die einzige Möglichkeit, eine Verteilung mit starkem Schwanz zu zeigen, die nicht mit langem Schwanz ist, besteht darin, eine Verteilung mit langem Schwanz so zu modifizieren, dass weiterhin gilt, während ( 2 ) verletzt wird. Es ist einfach, eine Grenze zu überschreiten: Ändern Sie sie an unendlich vielen Stellen, die von der Unendlichkeit abweichen. Das wird allerdings einiges mit F zu tun haben , was zunehmen und hinfällig bleiben muss. Eine Möglichkeit besteht darin, einige Aufwärtssprünge in F einzuführen , wodurch G nach unten springt und das Verhältnis G F ( x + 1 ) / G F ( x ) $(1)$$(2)$$F$$F$$G$$G_F(x+1)/G_F(x)$ . Zu diesem Zweck definieren wir eine Transformation , dass Drehungen$T_u$ in eine andere gültige Verteilungsfunktion, während ein plötzlicher Sprung bei dem Wert u erzeugt wird , sagen wir einen Sprung auf halbem Weg von$F$$u$ zu 1 :$F(u)$$1$

$$T_u[F](x) = \begin{cases} F(x) & u<x \\ \frac{1}{2} (1-F(x))+F(x) & u\geq x \end{cases}$$

Dadurch ändert sich nicht grundlegende Eigenschaft von : T u [ F ] ist immer noch eine Verteilungsfunktion.$F$$T_u[F]$

Die Wirkung auf die ist , um es um einen Faktor von Tropfen zu machen 1 / 2 bei u . Da also G nicht abnimmt, gilt immer dann, wenn u - 1 ≤ x < u ist ,$G_F$$1/2$$u$$G$$u-1 \le x \lt u$

$$\frac{G_{T_u[F]}(x + 1)}{G_{T_u[F]}(x )} \le \frac{1}{2}.$$

Wenn wir eine zunehmende und divergierende Sequenz von Pick , i = 1 , 2 , ... , und wendet jeden T u i in Aufeinanderfolge, bestimmt sie eine Folge von Verteilungen F i mit$u_i$$i=1, 2, \ldots$$T_{u_i}$$F_i$ und$F_0=F$

$$F_{i+1} = T_{u_i}[F_i]$$

für . Nach dem i- ten Schritt bleiben F i ( x ) , F i + 1 ( x ) , ... für x < u i alle gleich . Folglich ist die Folge von $i \ge 1$$i^\text{th}$$F_i(x), F_{i+1}(x), \ldots$$x\lt u_i$ ist eine nicht abnehmende, begrenzte, punktweise Folge von Verteilungsfunktionen, was impliziertihre Grenze$F_i(x)$

$$F_\infty = \lim_{i\to\infty} F_i$$

ist eine Verteilungsfunktion. Durch die Konstruktion ist es nicht langschwänzige weil es unendlich viele Punkte , an denen ihr Überleben Verhältnis fällt auf 1 / 2 oder weniger beträgt , zeigt es nicht haben kann 1 als eine Grenze.$G_{F_\infty}(x+1)/G_{F_\infty}(x))$$1/2$$1$

Dieser Plot zeigt eine Überlebensfunktion , die an den Punkten Schnitt nach unten auf diese Weise wurden u 1 ≈ 12.9 , u 2 ≈ 40.5 , u $G(x) = x^{-1/5}$ Beachten Sie die logarithmische vertikale Achse.$u_1 \approx 12.9, u_2 \approx 40.5, u_3 \approx 101.6, \ldots.$

Die Hoffnung ist, in der Lage zu sein, so zu wählen , dass F ∞ schwerfällig bleibt. Wir wissen, weil F stark schwanzförmig ist, dass es die Zahlen 0 = u 0 < u 1 < u 2 < ⋯ $(u_i)$$F_\infty$$F$ für die$0 = u_0 \lt u_1 \lt u_2 \lt \cdots \lt u_n \cdots$

$$\int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF(x) \ge 2^{i-1}$$

für jedes . Der Grund für die 2 i - 1 auf der rechten Seite ist, dass die von F zugewiesenen Wahrscheinlichkeiten für Werte bis zu u i nacheinander in die Hälfte i - 1 geschnitten wurden. Diese Prozedur verringert 2 i - 1 , wenn d F ( x ) für jedes j ≥ i durch d F j ( x ) ersetzt wird$i \ge 1$$2^{i-1}$$F$$u_i$$i-1$$dF(x)$$dF_{j}(x)$$j\ge i$$2^{i-1}$ zu , jedoch nicht niedriger.$1$

Dies ist eine Auftragung von für Dichten f , die der vorherigen Überlebensfunktion und ihrer "reduzierten" Version entsprechen. Die Bereiche unter dieser Kurve tragen zur Erwartung bei. Die Fläche von 1 bis u 1 ist 1 ; die Fläche von u 1 bis u 2 ist 2 , die, wenn sie abgeschnitten wird (zum unteren blauen Teil), eine Fläche von 1 wird ; der Bereich von u 2 bis u 3 ist 4 , der, wenn er abgeschnitten wird, ein Bereich von $x f(x)$$f$$1$$u_1$$1$$u_1$$u_2$$2$$1$$u_2$$u_3$$4$$1$, und so weiter. Somit ist der Bereich unter jeder nachfolgenden "Treppenstufe" rechts .$1$

Wählen wir eine solche Folge , um F ∞ zu definieren . Wir können überprüfen, ob es dicht beieinander bleibt, indem wir für eine ganze Zahl t = 1 / n wählen$(u_i)$$F_\infty$$t=1/n$ wählen und die Konstruktion anwenden:$n$

$$\eqalign{ \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_\infty(x) &=\int_\mathbb{R} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_i(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty 1, }$$

$t$$F_\infty$

$G(x+1)/G(x)$$G$$1$$u_i$$x$$1$

---

$F(x) = 1 - x^{-p}$$x \gt 0$$p \gt 1$$2$$F_\infty$$F$woher hat es auch endliche Varianz. "Besänftigen" Sie es durch Faltung mit einer schönen glatten Verteilung, wie z. B. einem Gaußschen: Dies macht es kontinuierlich, zerstört aber nicht seinen schweren Schwanz (offensichtlich) oder das Fehlen eines langen Schwanzes (nicht ganz so offensichtlich, aber es wird offensichtlich, wenn Sie ändern den Gaußschen Wert beispielsweise in eine Beta-Distribution (deren Unterstützung kompakt ist).

$F_\infty$

$$F_s(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(x) F_\infty(|x|)\right)$$

$x\in\mathbb{R}$