Können wir immer eine rechtwinklige Verteilung in Bezug auf die Zusammensetzung einer beliebigen und einer symmetrischen Verteilung umschreiben?

9

Betrachten Sie eine zweimal differenzierbare und symmetrische Verteilung . Betrachten Sie nun eine zweite zweimal differenzierbare Verteilung rigth, die in dem Sinne verzerrt ist, dass:F Z.FXFZ

(1)FXcFZ.

Dabei ist die konvexe Ordnung von van Zwet [0], so dass äquivalent ist zu: ( 1 )c(1)

(2)FZ1FX(x) is convex xR.

Betrachten Sie nun eine dritte zweimal differenzierbare Verteilung erfüllt:FY

(3)FYcFZ.

Meine Frage ist: Können wir immer eine Verteilung und eine symmetrische Verteilung , um jedes (alle drei wie oben definiert) in Bezug auf eine Zusammensetzung von umzuschreiben und als:F X F Z F X F Y.FYFXFZFXFY

FZ(z)=FYFX1FY(z)

oder nicht?

Bearbeiten:

Wenn beispielsweise der Weibull mit dem Formparameter 3.602349 ist (so dass er symmetrisch ist) und die Weibull-Verteilung mit dem Formparameter 3/2 ist (so dass er recht schief ist), Ich bekommeF Z.FXFZ

maxz|FZ(z)FYFX1FY(z)|0

indem Sie als Weibull-Verteilung mit dem Formparameter 2.324553 festlegen. Beachten Sie, dass alle drei Verteilungen Folgendes erfüllen:FY

FX=FXcFYcFZ,
Bedarf. Ich frage mich, ob dies im Allgemeinen zutrifft (unter den angegebenen Bedingungen).
  • [0] van Zwet, WR (1979). Mittelwert, Median, Modus II (1979). Statistica Neerlandica. Band 33, Ausgabe 1, Seiten 1-5.
user603
quelle

Antworten:

3

Nein!

Ein einfaches Gegenbeispiel liefert die Tukey Verteilung (der Sonderfall für der Tukey und Verteilung).h = 0 g hgh=0gh

Zum Beispiel sei der Tukey mit dem Parameter und der Tukey mit dem Parameter und eine Tukey Verteilung, für die . Da , erfüllen diese drei Verteilungen: g g X =0 F Z g g Z >0 F Y.FXggX=0FZggZ>0FYg Yg Z h = 0ggYgZh=0

FX=FXcFYcFZ.

(Der erste stammt aus der Definition des Tukey der symmetrisch ist, wenn , der nächste aus [0], Satz 2.1 (i)).g = 0gg=0

Zum Beispiel haben wir für :gZ=0.5

mingYgZmaxz|FZ(z)FYFX1FY(z)|0.005>0

(Aus irgendeinem Grund scheint das Minimum immer in der Nähe von ).gYgZ/2

  • [0] HL MacGillivray-Form-Eigenschaften der Familien g-and-h und Johnson. Comm. Statist.-Theory Methods, 21 (5) (1992), S. 1233–1250

Bearbeiten:

Im Fall des Weibull ist die Behauptung wahr:

Sei die Weibull-Verteilung mit dem Formparameter (der Skalierungsparameter beeinflusst die konvexe Reihenfolge nicht, sodass wir ihn ohne Verlust der Allgemeinheit auf 1 setzen können). Ebenso , und und .w Z F Y F X w Y w X.FZwZFYFXwYwX

Beachten Sie zunächst, dass drei beliebige Weibull-Verteilungen immer im Sinne von [0] geordnet werden können.

Beachten Sie als :

FX=FXwX=3.602349.

Nun zum Weibull:

FY(y)=1exp((y)wY),FY1(q)=(ln(1q))1/wY,

damit

FYFX1FY(z)=1exp(zwY2/wX),

schon seit

FZ(z)=1exp(zwZ).

Daher kann der Anspruch immer durch Setzen von .wY=wZ/wX

  • [0] van Zwet, WR (1979). Mittelwert, Median, Modus II (1979). Statistica Neerlandica. Band 33, Ausgabe 1, Seiten 1-5.
  • [1] Groeneveld, RA (1985). Schiefe für die Familie weibull. Statistica Neerlandica. Band 40, Ausgabe 3, Seiten 135–140.
user603
quelle