Können wir immer eine rechtwinklige Verteilung in Bezug auf die Zusammensetzung einer beliebigen und einer symmetrischen Verteilung umschreiben?

Betrachten Sie eine zweimal differenzierbare und symmetrische Verteilung . Betrachten Sie nun eine zweite zweimal differenzierbare Verteilung rigth, die in dem Sinne verzerrt ist, dass: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

(1) F_{X} ⪯_{c} F_{Z} .

$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

Dabei ist die konvexe Ordnung von van Zwet [0], so dass äquivalent ist zu: $\preceq_c$ $(1)$

(2) F_{Z}^{- 1} F_{X} (x) is convex \forall x \in R .

$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$

Betrachten Sie nun eine dritte zweimal differenzierbare Verteilung erfüllt: $\mathcal{F}_Y$

(3) F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

Meine Frage ist: Können wir immer eine Verteilung und eine symmetrische Verteilung , um jedes (alle drei wie oben definiert) in Bezug auf eine Zusammensetzung von umzuschreiben und als: $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

F_{Z} (z) = F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z)

$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$

oder nicht?

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Wenn beispielsweise der Weibull mit dem Formparameter 3.602349 ist (so dass er symmetrisch ist) und die Weibull-Verteilung mit dem Formparameter 3/2 ist (so dass er recht schief ist), Ich bekomme $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0

$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$

indem Sie als Weibull-Verteilung mit dem Formparameter 2.324553 festlegen. Beachten Sie, dass alle drei Verteilungen Folgendes erfüllen: $\mathcal{F}_Y$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z},

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$ Bedarf. Ich frage mich, ob dies im Allgemeinen zutrifft (unter den angegebenen Bedingungen).

[0] van Zwet, WR (1979). Mittelwert, Median, Modus II (1979). Statistica Neerlandica. Band 33, Ausgabe 1, Seiten 1-5.

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Antworten:

Nein!

Ein einfaches Gegenbeispiel liefert die Tukey Verteilung (der Sonderfall für der Tukey und Verteilung). $g$ $h=0$ $g$ $h$

Zum Beispiel sei der Tukey mit dem Parameter und der Tukey mit dem Parameter und eine Tukey Verteilung, für die . Da , erfüllen diese drei Verteilungen: $\mathcal{F}_X$ $g$ $g_X=0$ $\mathcal{F}_Z$ $g$ $g_Z>0$ $\mathcal{F}_Y$ $g$ $g_Y\leq g_Z$ $h=0$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

(Der erste stammt aus der Definition des Tukey der symmetrisch ist, wenn , der nächste aus [0], Satz 2.1 (i)). $g$ $g=0$

Zum Beispiel haben wir für : $g_Z=0.5$

min_{g_{Y} \leq g_{Z}} max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0.005 > 0

$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$

(Aus irgendeinem Grund scheint das Minimum immer in der Nähe von ). $g_Y\approx g_Z/2$

[0] HL MacGillivray-Form-Eigenschaften der Familien g-and-h und Johnson. Comm. Statist.-Theory Methods, 21 (5) (1992), S. 1233–1250

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Im Fall des Weibull ist die Behauptung wahr:

Sei die Weibull-Verteilung mit dem Formparameter (der Skalierungsparameter beeinflusst die konvexe Reihenfolge nicht, sodass wir ihn ohne Verlust der Allgemeinheit auf 1 setzen können). Ebenso , und und . $\mathcal{F}_Z$ $w_Z$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $w_Y$ $w_X$

Beachten Sie zunächst, dass drei beliebige Weibull-Verteilungen immer im Sinne von [0] geordnet werden können.

Beachten Sie als :

F_{X} = F_{- X} ⟹ w_{X} = 3.602349.

$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$

Nun zum Weibull:

F_{Y} (y) = 1 - \exp ((- y)^{w_{Y}}), F_{Y}^{- 1} (q) = (- \ln (1 - q))^{1 / w_{Y}},

$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$

damit

F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Y}^{2} / w_{X}}),

$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$

schon seit

F_{Z} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Z}}) .

$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$

Daher kann der Anspruch immer durch Setzen von . $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

[0] van Zwet, WR (1979). Mittelwert, Median, Modus II (1979). Statistica Neerlandica. Band 33, Ausgabe 1, Seiten 1-5.
[1] Groeneveld, RA (1985). Schiefe für die Familie weibull. Statistica Neerlandica. Band 40, Ausgabe 3, Seiten 135–140.

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