Misch- und Teilungspunktprozesse

In der folgenden Abbildung auf der linken Seite werden zwei Realisierungen von Punktprozessen mit unterschiedlicher Dichte (Intensität) und gemischt, die mit der Mitte der zugehörigen Bereiche übereinstimmen, um einen Punktprozess in der Mitte mit der Intensität zu erstellen . Dann werden zufällig ausgewählte Punkte als zwei Sätze daraus extrahiert, wie auf der rechten Seite gezeigt. Fragen: Ist ? und Ist ? Wenn zwei auf der linken Seite Poisson PP waren, ist die mittlere ein Poisson PP? Wie wäre es mit den beiden auf der rechten Seite?λ 2 λ λ = λ 1 + λ 2 λ = λ 3 + λ $\lambda_1$$\lambda_2$$\lambda$

$\lambda=\lambda_1+\lambda_2$$\lambda=\lambda_3+\lambda_4$

Um diese Frage zu beantworten, benötigen wir einen kleinen Hintergrund und eine Notation. In der allgemeinen Terminologie bezeichne einen Punktprozess in der Ebene, was bedeutet, dass für jede Borel-Menge in der Ebene eine ganzzahlige (einschließlich ) Zufallsvariable ist, die die Zahl zählt Punkte in . Außerdem ist ein Maß für jede Realisierung des Punktprozess .A N ( A ) + ∞ A A ↦ N ( A ) $N$$A$$N(A)$$+\infty$$A$$A \mapsto N(A)$$N$

Mit dem Punktprozess verbunden ist das Erwartungsmaß wobei die Erwartung immer gut definiert ist, da , aber . Es bleibt eine Übung, um zu überprüfen, ob wieder eine Maßnahme ist. Um technische Probleme zu vermeiden, nehmen wir an, dass ist. Dies ist auch sinnvoll, wenn der Prozess nur auf einem begrenzten Satz wie dem Feld in der Abbildung basiert, das das OP veröffentlicht hat. Dies impliziert, dass wie für alle .N ( A ) ≥ 0 + ∞ μ μ ( R 2 ) < ∞ N ( A ) < ∞

$$A \mapsto \mu(A) := E(N(A))$$ $N(A) \geq 0$$+\infty$$\mu$$\mu(\mathbf{R}^2) < \infty$$N(A) < \infty$$A$

Die folgenden Definitionen und Beobachtungen folgen.

• Wir sagen, dass die Intensität wenn die Dichte für das Lebesgue-Maß hat, dh wenn λ μ λ μ ( A ) = ∫ A λ ( x ) d x $N$ $\lambda$$\mu$$\lambda$ $$\mu(A) = \int_A \lambda(x) \mathrm{d}x.$$
• Wenn und Zweipunktprozesse sind, definieren wir die Überlagerung als die Summe . Dies entspricht der Überlagerung eines Punktmusters über dem anderen.N 2 N 1 + N $N_1$$N_2$$N_1 + N_2$
• Wenn und Zweipunktprozesse (unabhängig oder nicht) mit den Intensitäten und hat die Überlagerung die Intensität .N 2 λ 1 λ 2 λ 1 + λ $N_1$$N_2$$\lambda_1$$\lambda_2$$\lambda_1 + \lambda_2$
• Wenn und sind unabhängige Poisson - Prozesse dann ist die Überlagerung ein Poisson - Prozess. Um dies zu zeigen , wir zunächst beobachten , dass ist Poisson aus den Faltungseigenschaften der Poisson - Verteilung, und dann, wenn ist disjunkt dann sind unabhängig, da und unabhängig sind und Poisson selbst verarbeitet. Diese beiden Eigenschaften charakterisieren einen Poisson-Prozess. N 2 N 1 ( A ) + N 2 ( A ) A 1 , … , A n N 1 ( A 1 ) + N 2 ( A 1 ) , … , N 1 ( A n ) + N 2 ( A n ) N 1 N $N_1$$N_2$$N_1(A) + N_2(A)$$A_1, \ldots, A_n$$N_1(A_1) + N_2(A_1), \ldots, N_1(A_n) + N_2(A_n)$$N_1$$N_2$

Zusammenfassung I: Wir haben gezeigt, dass immer dann, wenn ein Punktprozess eine Summe oder Überlagerung von zwei Punktprozessen mit Intensitäten ist, die Überlagerung als Intensität die Summe der Intensitäten hat. Wenn die Prozesse außerdem unabhängig von Poisson sind, ist die Überlagerung Poisson.

Für den verbleibenden Teil der Frage nehmen wir an, dass wie für alle Singleton-Mengen . Dann heißt der Punktprozess einfach. Poisson-Prozesse mit Intensitäten sind einfach. Für einen einfachen Punktprozess gibt es eine Darstellung von als als Summe von Dirac-Maßen an den zufälligen Punkten. Wenn Bernoulli-Zufallsvariablen sind, ist eine zufällige Ausdünnung der einfache Punktprozess Es ist ziemlich klar, dass mit gilt, dass . Wenn wir das tun iid{ x } N N = ∑ i δ X i , Z i ∈ { 0 , 1 } N 1 = ∑ i Z i δ X i . N 2 = ∑ i ( 1 - Z i ) δ X i N = N 1 + N 2 $N(\{x\}) \leq 1$$\{x\}$$N$

$$N = \sum_i \delta_{X_i},$$ $Z_i \in \{0,1\}$ $$N_1 = \sum_i Z_i \delta_{X_i}.$$ $$N_2 = \sum_i (1-Z_i) \delta_{X_i}$$ $N = N_1 + N_2$zufällige Ausdünnung, was bedeutet, dass die alle unabhängig und identisch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit sind, beispielsweise Daraus $Z_i$$p$
$$N_1(A) \mid N(A) = n \sim \text{Bin}(n, p).$$ $$E(N_1(A)) = E \big(E(N_1(A) \mid N(A))\big) = E(N(A)p) = p \mu(A).$$

Wenn ein Poisson-Prozess ist, sollte klar sein, dass für disjunkte dann wieder unabhängig sind und Dies zeigt, dass ein Poisson-Prozess ist. In ähnlicher Weise ist ein Poisson-Prozess (mit dem mittleren Maß$N$$A_1, \ldots, A_n$$N_1(A_1), \ldots, N_1(A_n)$

$$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k) & = & \sum_{n=k}^{\infty} P(N_1(A) = k \mid N(A) = n)P(N(A) = n) \\ & =& e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k} \frac{\mu(A)^n}{n!} \\ & = & \frac{(p\mu)^k}{k!}e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{((1-p)\mu(A))^{n-k}}{(n-k)!} \\ & = & \frac{(p\mu(A))^k}{k!}e^{-\mu(A) + (1-p)\mu(A)} = e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!}. \end{array}$$ $N_1$$N_2$$(1-p)\mu$). Was bleibt, ist zu zeigen, dass und tatsächlich unabhängig sind. Wir schneiden hier eine Ecke und sagen, dass es tatsächlich ausreicht zu zeigen, dass und für beliebiges unabhängig sind , und dies folgt aus $N_1$$N_2$$N_1(A)$$N_2(A)$$A$ $$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k, N_2(A) = r) & = & P(N_1(A) = k, N(A) = k + r) \\ & = & P(N_1(A) = k \mid N(A) = k + r) P(N(A) = k + r) \\ & = & e^{-\mu(A)} {k+r \choose k} p^k(1-p)^{r} \frac{\mu(A)^{k+r}}{(k+r)!} \\ & = & e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!} e^{-(1-p)\mu(A)}\frac{((1-p)\mu(A))^r}{r!} \\ & = & P(N_1(A) = k)P(N_2(A) = r). \end{array}$$

Zusammenfassung II: Wir schließen daraus, dass eine zufällige Ausdünnung mit der Erfolgswahrscheinlichkeit eines einfachen Punktprozesses mit der Intensität zu zwei einfachen Punktprozessen führt, und mit den Intensitäten und , und ist die Überlagerung von und . Wenn außerdem ein Poisson-Prozess ist, sind und unabhängige Poisson-Prozesse.N λ N 1 N 2 p λ ( 1 - p ) λ N N 1 N 2 N N 1 N $p$$N$$\lambda$$N_1$$N_2$$p\lambda$$(1-p)\lambda$$N$$N_1$$N_2$$N$$N_1$$N_2$

Es ist natürlich zu fragen, ob wir unabhängig dünner werden könnten, ohne anzunehmen, dass die identisch verteilt sind und ähnliche Ergebnisse . Dies ist möglich, aber etwas komplizierter zu formulieren, da die Verteilung von dann irgendwie mit dem verknüpft werden muss . Zum Beispiel ist für eine gegebene Funktion . Es ist dann möglich, das gleiche Ergebnis wie oben zu zeigen, wobei jedoch die Intensität die Funktion . Wir überspringen den Beweis. Die beste allgemeine mathematische Referenz für räumliche Punktprozesse ist Daley und Vere-JonesZ i X i P ( Z i = 1 ≤ N ) = p ( x i ) p p λ p ( x ) λ ( x $Z_i$$Z_i$$X_i$$P(Z_i = 1 \mid N) = p(x_i)$$p$$p\lambda$$p(x)\lambda(x)$. Eine knappe Sekunde, die insbesondere Statistiken und Simulationsalgorithmen abdeckt, sind Møller und Waagepetersen .