Misch- und Teilungspunktprozesse

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In der folgenden Abbildung auf der linken Seite werden zwei Realisierungen von Punktprozessen mit unterschiedlicher Dichte (Intensität) und gemischt, die mit der Mitte der zugehörigen Bereiche übereinstimmen, um einen Punktprozess in der Mitte mit der Intensität zu erstellen . Dann werden zufällig ausgewählte Punkte als zwei Sätze daraus extrahiert, wie auf der rechten Seite gezeigt. Fragen: Ist ? und Ist ? Wenn zwei auf der linken Seite Poisson PP waren, ist die mittlere ein Poisson PP? Wie wäre es mit den beiden auf der rechten Seite?λ 2 λ λ = λ 1 + λ 2 λ = λ 3 + λ 4λ1λ2λ

λ=λ1+λ2λ=λ3+λ4

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Entwickler
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6
Die Schlüsselwörter, nach denen Sie suchen, sind Überlagerung und Ausdünnung des Poisson-Prozesses. Die Antwort lautet mit einigen Qualifikationen ja . Eine positive Antwort hängt jedoch eng von (i) der Unabhängigkeit der beiden Prozesse im ersten Fall und (ii) der Aufteilung im zweiten Fall ab. :)
Kardinal
1
Danke für die Schlüsselwörter. Ich würde mich freuen, wenn Sie als Antwort eine vollständige Erklärung geben würden. Denn (i) da beide Poisson PP sind, sind sie unabhängig (glaube ich). Für (ii) kann ein Poisson-Zufallswähler verklagt werden.
Entwickler
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Wie Kardinal sagte, ist die Unabhängigkeit der Punktprozesse wichtig. Sie können leicht zwei abhängige Poisson-Prozesse definieren, deren Überlagerung kein Poisson-Prozess wäre. Beispiel: Angenommen, die Punkte in Prozess 2 sind genau die gleichen wie in Prozess 1, nur um 1 Einheit nach rechts verschoben.
Karl
1
@Karl: Ich mag die Essenz Ihres Beispiel, wenn der zweite Prozess nicht ist ganz ein Poisson - Prozess , da die Wahrscheinlichkeit einer Ankunft in ist Null im zweiten Fall. :)[0,1)
Kardinal
3
@cardinal - Ich habe an Punktprozesse auf der ganzen Ebene gedacht.
Karl

Antworten:

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Um diese Frage zu beantworten, benötigen wir einen kleinen Hintergrund und eine Notation. In der allgemeinen Terminologie bezeichne einen Punktprozess in der Ebene, was bedeutet, dass für jede Borel-Menge in der Ebene eine ganzzahlige (einschließlich ) Zufallsvariable ist, die die Zahl zählt Punkte in . Außerdem ist ein Maß für jede Realisierung des Punktprozess .A N ( A ) + A A N ( A ) N.NAN(A)+AAN(A)N

Mit dem Punktprozess verbunden ist das Erwartungsmaß wobei die Erwartung immer gut definiert ist, da , aber . Es bleibt eine Übung, um zu überprüfen, ob wieder eine Maßnahme ist. Um technische Probleme zu vermeiden, nehmen wir an, dass ist. Dies ist auch sinnvoll, wenn der Prozess nur auf einem begrenzten Satz wie dem Feld in der Abbildung basiert, das das OP veröffentlicht hat. Dies impliziert, dass wie für alle .N ( A ) 0 + μ μ ( R 2 ) < N ( A ) < A.

Aμ(A):=E(N(A))
N(A)0+μμ(R2)<N(A)<A

Die folgenden Definitionen und Beobachtungen folgen.

  • Wir sagen, dass die Intensität wenn die Dichte für das Lebesgue-Maß hat, dh wenn λ μ λ μ ( A ) = A λ ( x ) d x .N λμλ
    μ(A)=Aλ(x)dx.
  • Wenn und Zweipunktprozesse sind, definieren wir die Überlagerung als die Summe . Dies entspricht der Überlagerung eines Punktmusters über dem anderen.N 2 N 1 + N 2N1N2N1+N2
  • Wenn und Zweipunktprozesse (unabhängig oder nicht) mit den Intensitäten und hat die Überlagerung die Intensität .N 2 λ 1 λ 2 λ 1 + λ 2N1N2λ1λ2λ1+λ2
  • Wenn und sind unabhängige Poisson - Prozesse dann ist die Überlagerung ein Poisson - Prozess. Um dies zu zeigen , wir zunächst beobachten , dass ist Poisson aus den Faltungseigenschaften der Poisson - Verteilung, und dann, wenn ist disjunkt dann sind unabhängig, da und unabhängig sind und Poisson selbst verarbeitet. Diese beiden Eigenschaften charakterisieren einen Poisson-Prozess. N 2 N 1 ( A ) + N 2 ( A ) A 1 , , A n N 1 ( A 1 ) + N 2 ( A 1 ) , , N 1 ( A n ) + N 2 ( A n ) N 1 N 2N1N2N1(A)+N2(A)A1,,AnN1(A1)+N2(A1),,N1(An)+N2(An)N1N2

Zusammenfassung I: Wir haben gezeigt, dass immer dann, wenn ein Punktprozess eine Summe oder Überlagerung von zwei Punktprozessen mit Intensitäten ist, die Überlagerung als Intensität die Summe der Intensitäten hat. Wenn die Prozesse außerdem unabhängig von Poisson sind, ist die Überlagerung Poisson.

Für den verbleibenden Teil der Frage nehmen wir an, dass wie für alle Singleton-Mengen . Dann heißt der Punktprozess einfach. Poisson-Prozesse mit Intensitäten sind einfach. Für einen einfachen Punktprozess gibt es eine Darstellung von als als Summe von Dirac-Maßen an den zufälligen Punkten. Wenn Bernoulli-Zufallsvariablen sind, ist eine zufällige Ausdünnung der einfache Punktprozess Es ist ziemlich klar, dass mit gilt, dass . Wenn wir das tun iid{ x } N N = i δ X i , Z i{ 0 , 1 } N 1 = i Z i δ X i . N 2 = i ( 1 - Z i ) δ X i N = N 1 + N 2 Z.N({x})1{x}N

N=iδXi,
Zi{0,1}
N1=iZiδXi.
N2=i(1Zi)δXi
N=N1+N2zufällige Ausdünnung, was bedeutet, dass die alle unabhängig und identisch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit sind, beispielsweise Daraus Zip
N1(A)N(A)=nBin(n,p).
E(N1(A))=E(E(N1(A)N(A)))=E(N(A)p)=pμ(A).

Wenn ein Poisson-Prozess ist, sollte klar sein, dass für disjunkte dann wieder unabhängig sind und Dies zeigt, dass ein Poisson-Prozess ist. In ähnlicher Weise ist ein Poisson-Prozess (mit dem mittleren MaßNA1,,AnN1(A1),,N1(An)

P(N1(A)=k)=n=kP(N1(A)=kN(A)=n)P(N(A)=n)=eμ(A)n=k(nk)pk(1p)nkμ(A)nn!=(pμ)kk!eμ(A)n=k((1p)μ(A))nk(nk)!=(pμ(A))kk!eμ(A)+(1p)μ(A)=epμ(A)(pμ(A))kk!.
N1N2(1p)μ). Was bleibt, ist zu zeigen, dass und tatsächlich unabhängig sind. Wir schneiden hier eine Ecke und sagen, dass es tatsächlich ausreicht zu zeigen, dass und für beliebiges unabhängig sind , und dies folgt aus N1N2N1(A)N2(A)A
P(N1(A)=k,N2(A)=r)=P(N1(A)=k,N(A)=k+r)=P(N1(A)=kN(A)=k+r)P(N(A)=k+r)=eμ(A)(k+rk)pk(1p)rμ(A)k+r(k+r)!=epμ(A)(pμ(A))kk!e(1p)μ(A)((1p)μ(A))rr!=P(N1(A)=k)P(N2(A)=r).

Zusammenfassung II: Wir schließen daraus, dass eine zufällige Ausdünnung mit der Erfolgswahrscheinlichkeit eines einfachen Punktprozesses mit der Intensität zu zwei einfachen Punktprozessen führt, und mit den Intensitäten und , und ist die Überlagerung von und . Wenn außerdem ein Poisson-Prozess ist, sind und unabhängige Poisson-Prozesse.N λ N 1 N 2 p λ ( 1 - p ) λ N N 1 N 2 N N 1 N 2pNλN1N2pλ(1p)λNN1N2NN1N2

Es ist natürlich zu fragen, ob wir unabhängig dünner werden könnten, ohne anzunehmen, dass die identisch verteilt sind und ähnliche Ergebnisse . Dies ist möglich, aber etwas komplizierter zu formulieren, da die Verteilung von dann irgendwie mit dem verknüpft werden muss . Zum Beispiel ist für eine gegebene Funktion . Es ist dann möglich, das gleiche Ergebnis wie oben zu zeigen, wobei jedoch die Intensität die Funktion . Wir überspringen den Beweis. Die beste allgemeine mathematische Referenz für räumliche Punktprozesse ist Daley und Vere-JonesZ i X i P ( Z i = 1 N ) = p ( x i ) p p λ p ( x ) λ ( x )ZiZiXiP(Zi=1N)=p(xi)ppλp(x)λ(x). Eine knappe Sekunde, die insbesondere Statistiken und Simulationsalgorithmen abdeckt, sind Møller und Waagepetersen .

NRH
quelle
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+1 Das Lesen dieser Antwort ist wirklich erstaunlich und hilfreich. Ich persönlich habe viel gelernt. Es ist eine der vollständigsten Antworten, die ich je erhalten habe. Ich weiß das wirklich zu schätzen.
Entwickler
@ Entwickler, danke. Ich bin froh, dass ich Ihnen helfen konnte.
NRH
Das ist besser als ein Lehrbuch ...
Michael Mark
Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich denke, Sie müssen hier erwähnen, dass Sie für allgemeine Punktprozesse die bedingte Intensität müssen, um das vollständig charakterisieren zu können. Derzeit könnte das, was Sie geschrieben haben, so interpretiert werden, dass konstant ist. λλ(t|Ht)λ
Sus20200
@ Sus20200, die bedingte Dichte, wie Sie sie schreiben, wird für zeitliche Punktprozesse verwendet, während es sich um Punktprozesse in der Ebene ohne zeitliche Ordnung handelt. Ansonsten stimme ich zu, dass man vorsichtig sein muss, um die deterministische Intensität von der bedingten (oder stochastischen) Intensität zu unterscheiden. Ersteres gibt nur das mittlere Maß und nicht die gesamte Verteilung des Punktprozesses an. Mit Ausnahme eines Poisson-Prozesses, der vollständig durch sein mittleres Maß und damit die Intensität spezifiziert ist. Beachten Sie, dass die Intensität nicht konstant ist, sondern eine Funktion der Raumkoordinaten.
NRH