Warum ist asymptotische Normalität für einen Schätzer wichtig?

Liegt es daran, dass es eine einfache Konstruktion für Konfidenzintervalle ermöglicht? Ist es nicht immer noch möglich, Konfidenzintervalle ohne diese Eigenschaft zu erstellen, dh wenn sie zu einer anderen Verteilung konvergiert? Bitte geben Sie mir einige Gründe an, warum ein Schätzer asymptotisch normal sein soll.

Warum ist asymptotische Normalität für einen Schätzer wichtig?

Ich würde nicht sagen, dass es wirklich wichtig ist, aber wenn es passiert, kann es bequem sein, und die einfache Tatsache ist, dass es viel passiert - für viele populäre Schätzer in häufig verwendeten Modellen ist es der Fall, dass die Verteilung von a Ein entsprechend standardisierter Schätzer ist asymptotisch normal.

Also, ob ich es wünsche oder nicht, es passiert. [In der Tat sagt Charles Geyer in diesen Notizen , dass "fast alle Schätzer von praktischem Interesse [...] asymptotisch normal sind", und ich denke, dass dies wahrscheinlich eine faire Einschätzung ist.]

Liegt es daran, dass es eine einfache Konstruktion für Konfidenzintervalle ermöglicht?

Nun, es ermöglicht eine einfache Erstellung von Konfidenzintervallen, wenn die Stichprobengrößen groß genug sind, dass Sie die Stichprobenverteilung normal normal annähern können. ... solange Sie einen Computer oder Tabellen haben oder sich zufällig an die gewünschten kritischen Werte erinnern. [Ohne diese wäre es leicht unpraktisch ... aber ich kann es gut machen, selbst wenn ich mich entscheide, ein 85% -Intervall oder ein 96,5% -Intervall oder was auch immer zu berechnen, selbst wenn ich keinen Computer oder keine Tabellen habe, da ich Ich kann einen nahe gelegenen Wert, den ich kenne, oder ein Paar nahegelegener Werte auf beiden Seiten des gewünschten Werts nehmen und ein wenig mit einem Taschenrechner spielen ... oder im schlimmsten Fall mit einem Stift und Papier, und ein Intervall dafür erhalten werde genau genug sein; Immerhin ist es bereits eine Annäherung in mindestens ein paar verschiedenen Punkten. Wie genau brauche ich das wirklich?]

Aber ich würde wirklich nicht sagen, dass "ich deswegen asymptotische Normalität will".

Ich konstruiere ständig CIs mit endlichen Stichproben, ohne mich um die Normalität zu kümmern. Ich bin vollkommen glücklich, ein Binomialintervall (40,0,5) oder ein -Intervall oder ein -Intervall oder ein -Intervall zu verwenden, anstatt zu versuchen, in einem dieser Intervalle eine asymptotische Normalität aufzurufen Fälle, so asymptotisch - etwas anderes - wäre keine große Sache gewesen. Tatsächlich verwende ich zumindest manchmal Permutationstests und generiere CIs aus Permutations- oder Randomisierungsverteilungen, und ich kümmere mich nicht um die asymptotische Verteilung, wenn ich dies tue (da eine Bedingung in der Stichprobe Asymptotik irrelevant ist).$t_{80}$$\chi^2_{100}$$F_{60,120}$

Ist es nicht immer noch möglich, Konfidenzintervalle ohne diese Eigenschaft zu erstellen, dh wenn sie zu einer anderen Verteilung konvergiert?

Ja absolut. Stellen Sie sich vor, ein skalierter Schätzer würde asymptotisch Chi-Quadrat mit 2df (was nicht normal ist) sagen. Würde ich gestört werden? Wäre es überhaupt leicht unpraktisch? Kein Bisschen. (Wenn überhaupt, wäre das in gewisser Weise einfacher)

Aber selbst wenn die asymptotische Verteilung nicht besonders praktisch wäre, würde mich das nicht unbedingt stören. Zum Beispiel kann ich problemlos einen Kolmogorov-Smirnov-Test ohne Schwierigkeiten verwenden, und die Statistik ist ein Schätzer für etwas. Es ist nicht praktisch in dem Sinne, dass ich die asymptotische Verteilung nur als unendliche Summe aufschreiben könnte (aber es ist praktisch, wenn ich einfach entweder Tabellen oder ein Computerprogramm verwende, um Dinge damit zu tun ... genau wie ich mit dem normalen).

Andererseits müssen (und sollten) wir nicht die Tatsache ignorieren, dass die häufigsten Arten von Schätzern oft asymptotisch normal sind - MLEs sind normalerweise asymptotisch normal, ebenso wie Schätzer und Schätzer für Momentmethoden (nicht extreme) Quantile (und mehr). Ich werde es nicht ignorieren, wenn es passiert.

Bitte geben Sie mir einige Gründe an, warum ein Schätzer asymptotisch normal sein soll.

Besonders nicht. Aber wenn es passiert, verwende ich diese Tatsache gerne, wenn es zweckmäßig und vernünftig ist, dies anstelle von etwas anderem zu tun.