Zwei Definitionen des p-Wertes: Wie kann man ihre Äquivalenz beweisen?

Ich lese in Larry Wassermans Buch All of Statistics und derzeit über p-Werte (Seite 187). Lassen Sie mich zunächst einige Definitionen einführen (ich zitiere):

Definition 1 Die Leistungsfunktion eines Tests mit Verwerfungsbereich $R$ ist definiert durch

$$\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$$ Die Größe eines Tests definiert werden soll $$\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$$ Ein Test ist soll das Niveau $\alpha$ wenn seine Größe kleiner oder gleich $\alpha$ .

Dies besagt im Grunde, dass $\alpha$ , die Größe die "größte" Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ I ist. Der $p$ Wert wird dann definiert über (ich zitiere)

Definition 2 Angenommen, wir haben für jedes $\alpha\in(0,1)$ einen Test der Größe $\alpha$ mit dem Ablehnungsbereich $R_\alpha$ . Dann ist

$$p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$$ wobei $X^n=(X_1,\dots,X_n)$ .

Für mich bedeutet dies: Bei einem bestimmten $\alpha$ gibt es einen Test- und Zurückweisungsbereich $R_\alpha$ so dass $\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$ . Für den $p$ Wert nehme ich dann einfach den kleinsten von all diesen $\alpha$ .

Frage 1 Wenn dies der Fall wäre, könnte ich eindeutig $\alpha = \epsilon$ für beliebig kleine wählen $\epsilon$. Was ist meine falsche Interpretation von Definition 2, dh was bedeutet das genau?

Nun setzt Wasserman fort und gibt einen Satz an, der eine "äquivalente" Definition des $p$ Wertes enthält, mit der ich vertraut bin (ich zitiere):

Satz Angenommen, der Test der Größe $\alpha$ hat die Form H 0

$$\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$$ Dann $$p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$$ , wobei$x^n$ ist der beobachtete Wert von$X^n$ .

Hier ist meine zweite Frage:

Frage 2 Wie kann ich diesen Satz tatsächlich beweisen? Vielleicht liegt es an meinem Missverständnis der Definition des $p$ Werts, aber ich kann es nicht herausfinden.

Wir haben einige multivariate Daten , die aus einer Verteilung D mit einem unbekannten Parameter θ stammen . Beachten Sie, dass x Stichprobenergebnisse sind.$x$$\mathcal{D}$$\theta$$x$

Wir wollen eine Hypothese über einen unbekannten Parameter testen , die Werte von θ unter der Nullhypothese liegen in der Menge θ 0 .$\theta$$\theta$$\theta_0$

Im Raum des können wir einen Zurückweisungsbereich R definieren , und die Leistung dieses Bereichs R wird dann definiert als P R ˉ θ = P ˉ θ ( x ∈ R ) . So dass die Leistung wird berechnet für einen bestimmten Wert ˉ θ von θ als die Wahrscheinlichkeit , dass die Probe Ergebnis x in der Verwerfungsbereich ist R , wenn der Wert von θ ist ˉ θ . Offensichtlich hängt die Leistung von der Region $X$$R$$R$$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$$\bar{\theta}$$\theta$$x$$R$ $\theta$$\bar{\theta}$$R$und auf dem gewählten .$\bar{\theta}$

Definition 1 definiert die Größe des Bereichs $R$ als das Supremum aller Werte von für ˉ θ in θ 0 , also nur für Werte von ˉ θ unter H 0 . Offensichtlich ist dies abhängig von der Region, so α R = s u p ˉ & thgr; ∈ & thgr; 0 P R ˉ & thgr; .$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$$\bar{\theta}$$\theta_0$$\bar{\theta}$$H_0$$\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

Als abhängt R haben wir einen anderen Wert , wenn die Region ändert, und dies ist die Grundlage , um die p-Wert für die Definition: Änderung der Region, aber in einer Weise , dass die Probe noch beobachteten Wert in der Region gehört, für jede dieser Region, berechne das α R wie oben definiert und nimm das Infimum: p v ( x ) = i n f R | x ∈ R α R . Der p-Wert ist also die kleinste Größe aller Regionen, die x enthalten .$\alpha^R$$R$$\alpha_R$$pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$$x$

Der Satz ist dann nur eine 'Übersetzung' davon, nämlich der Fall, in dem die Regionen unter Verwendung einer Statistik T definiert werden und für einen Wert c eine Region R als R = { x | definiert wird T ( x ) ≥ c } . Wenn Sie diese Art von Region R in der obigen Argumentation verwenden, folgt der Satz.$R$$T$$c$$R$$R=\{ x | T(x) \ge c \}$$R$

BEARBEITEN wegen Kommentaren:

@ user8: für den Satz; Wenn Sie Ablehnungsbereiche wie im Satz definieren, ist ein Zurückweisungsbereich der Größe eine Menge, die wie folgt aussieht: R α = { X | T ( X ) ≥ c α } für einige c α .$\alpha$$R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$$c_\alpha$

Um den p-Wert eines beobachteten Wertes , dh p v ( x ) , müssen Sie den kleinsten Bereich R finden , dh den größten Wert von c, so dass { X | T ( X ) ≥ c } enthält immer noch x , letzteres (die Region enthält x ) entspricht (aufgrund der Art und Weise, wie die Regionen definiert sind) der Aussage, dass c ≥ T ( x ) ist , so dass Sie das größte c wie z dass { X | $x$$pv(x)$$R$$c$$\{X | T(X) \ge c \}$ $x$$x$$c \ge T(x)$$c$$\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

Offensichtlich ist der größte , so dass c ≥ T ( x ) sollte sein c = T ( x ) und dann der Satz über wird { X | T ( X ) ≥ c = T ( x ) } = { X | T ( X ) ≥ T ( x ) $c$$c \ge T(x)$$c = T(x)$$\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

In Definition 2 ist der Wert einer Teststatistik die größte Untergrenze von allen α, so dass die Hypothese für einen Test der Größe α verworfen wird . Denken Sie daran, dass je kleiner wir α machen, desto weniger Toleranz für Fehler vom Typ I wir zulassen, sodass auch der Zurückweisungsbereich R α abnimmt. (Sehr) informell gesehen ist der p- Wert das kleinste α, das wir wählen können, sodass wir H 0 für die beobachteten Daten immer noch ablehnen können. Wir können nicht willkürlich ein kleineres α wählen, weil irgendwann R $p$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$R_\alpha$$p$$\alpha$$H_0$$\alpha$$R_\alpha$ wird so klein sein, dass es das beobachtete Ereignis ausschließt (dh nicht enthält).

In Anbetracht des Vorstehenden lade ich Sie ein, den Satz zu überdenken.