Nehmen Sie die 5 platonischen Körper aus einem Satz Dungeons & Dragons-Würfel. Diese bestehen aus einem 4-seitigen, 6-seitigen (konventionellen), 8-seitigen, 12-seitigen und 20-seitigen Würfel. Alle beginnen bei der Nummer 1 und zählen bis zu ihrer Summe um 1 aufwärts.
Würfle sie alle auf einmal und nimm ihre Summe (Minimum 5, Maximum 50). Mach das mehrmals. Wie ist die Aufteilung?
Offensichtlich tendieren sie zum unteren Ende, da es mehr niedrigere Zahlen als höhere gibt. Aber wird es an jeder Grenze des einzelnen Würfels bemerkenswerte Wendepunkte geben?
[Edit: Anscheinend ist das, was offensichtlich schien, nicht. Laut einem der Kommentatoren liegt der Durchschnitt bei (5 + 50) /2=27,5. Ich habe das nicht erwartet. Ich würde immer noch gerne eine Grafik sehen.] [Edit2: Es ist sinnvoller zu sehen, dass die Verteilung von n Würfeln dieselbe ist wie bei jedem Würfel, der einzeln addiert wird.]
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hist(rowSums(sapply(c(4, 6, 8, 12, 20), sample, 1e6, replace = TRUE)))
. Es tendiert eigentlich nicht zum unteren Ende; Von den möglichen Werten von 5 bis 50 beträgt der Durchschnitt 27,5, und die Verteilung ist (visuell) nicht weit vom Normalwert entfernt.Antworten:
Ich würde es nicht algebraisch machen wollen, aber Sie können die PMF einfach genug berechnen (es ist nur Faltung, was in einer Tabelle wirklich einfach ist).
Ich habe diese in einer Tabelle berechnet *:
Hier ist die Anzahl von Wegen, um jede Summe i zu erhalten ; p ( i ) ist die Wahrscheinlichkeit, mit der p ( in(i) i p ( i ) . Die wahrscheinlichsten Ergebnisse treten in weniger als 5% der Fälle auf.p(i)=n(i)/46080
Die y-Achse ist die Wahrscheinlichkeit, die als Prozentsatz ausgedrückt wird.
* Die Methode, die ich verwendet habe, ähnelt der hier beschriebenen , obwohl sich die genauen Mechanismen für die Einrichtung ändern, wenn sich die Details der Benutzeroberfläche ändern (dieser Beitrag ist jetzt ungefähr 5 Jahre alt, obwohl ich ihn vor ungefähr einem Jahr aktualisiert habe). Und dieses Mal habe ich ein anderes Paket verwendet (diesmal in LibreOffice's Calc). Trotzdem ist das der Kern der Sache.
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Also habe ich diesen Code gemacht:
Das Ergebnis ist diese Handlung.
Es sieht ganz nach Gauß aus. Ich denke, wir haben (wieder) eine Variation des zentralen Grenzwertsatzes gezeigt.
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Eine kleine Hilfe für Ihre Intuition:
Überlegen Sie zunächst, was passiert, wenn Sie eine zu allen Flächen eines Würfels hinzufügen, z. B. die d4. Anstelle von 1,2,3,4 zeigen die Gesichter nun 2,3,4,5.
Vergleicht man diese Situation mit der ursprünglichen, so ist leicht zu erkennen, dass die Gesamtsumme jetzt um eins höher ist als früher. Dies bedeutet, dass die Form der Verteilung unverändert bleibt und nur einen Schritt zur Seite bewegt wird.
Jetzt subtrahieren den Durchschnittswert jedes Würfels von jeder Seite dieses Würfels.
Dies gibt markierte Würfel
etc.
Jetzt sollte die Summe dieser Würfel immer noch die gleiche Form wie das Original haben, nur nach unten verschoben. Es sollte klar sein, dass diese Summe um Null symmetrisch ist. Daher ist auch die ursprüngliche Verteilung symmetrisch.
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Ich werde einen Ansatz zeigen, um dies algebraisch mit Hilfe von R zu tun. Angenommen, die verschiedenen Würfel haben Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die durch Vektoren gegeben sind
und Sie können überprüfen, ob dies korrekt ist (durch manuelle Berechnung). Nun zur eigentlichen Frage, fünf Würfel mit 4,6,8,12,20 Seiten. Ich werde die Berechnung unter der Annahme einheitlicher Probs für jeden Würfel durchführen. Dann:
Die Handlung ist unten dargestellt:
Jetzt können Sie diese exakte Lösung mit Simulationen vergleichen.
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Der zentrale Grenzwertsatz beantwortet Ihre Frage. Obwohl seine Details und sein Beweis (und dieser Wikipedia-Artikel) etwas hirnrissig sind, ist das Wesentliche einfach. Per Wikipedia heißt es, dass
Skizze eines Beweises für Ihren Fall:
Wenn Sie sagen, dass Sie alle Würfel auf einmal werfen, ist jeder Würfelwurf eine Zufallsvariable.
Auf Ihren Würfeln sind endliche Zahlen aufgedruckt. Die Summe ihrer Werte hat daher eine endliche Varianz.
Jedes Mal, wenn Sie alle Würfel werfen, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Ergebnisses gleich. (Die Würfel wechseln nicht zwischen den Würfen.)
Wenn Sie fair würfeln, ist das Ergebnis bei jedem Wurf unabhängig. (Vorherige Rollen wirken sich nicht auf zukünftige Rollen aus.)
Unabhängig? Prüfen. Identisch verteilt? Prüfen. Endliche Varianz? Prüfen. Daher tendiert die Summe zu einer Normalverteilung.
Es wäre nicht einmal wichtig, wenn die Verteilung für einen Wurf aller Würfel zum unteren Ende hin schief wäre. Es wäre mir egal, ob diese Verteilung Spitzen enthält. Die ganze Summierung glättet es und macht es zu einem symmetrischen Gaußschen. Sie müssen nicht einmal Algebra oder Simulationen durchführen, um es zu zeigen! Das ist die überraschende Einsicht des CLT.
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