Was ist die Autokorrelation für einen zufälligen Spaziergang?

Scheint wirklich hoch zu sein, aber das ist für mich nicht intuitiv. Kann jemand bitte erklären? Ich bin sehr verwirrt von diesem Thema und würde mich über eine detaillierte, aufschlussreiche Erklärung freuen. Vielen Dank im Voraus!

(Ich schrieb dies als Antwort auf einen anderen Beitrag, der während des Komponierens als Duplikat dieses Beitrags markiert wurde. Ich dachte, ich würde ihn hier posten, anstatt ihn wegzuwerfen. Es sieht so aus, als ob er ganz ähnliche Dinge wie Whubers sagt antworte, aber es ist gerade anders genug, dass jemand etwas aus diesem herausholen könnte.)

Ein zufälliger Spaziergang hat die Form $y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

Man beachte, dass $y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

$t$$y_t$$y_{t-1}$

$y_t$$y_{t-1}$

$y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$$\sqrt{t}$

$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$.

$x_{i+1}$$x_i$$x_i$$x_0$$\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$$1$$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

$$R^2 \approx 1 - \frac{1}{n/4} = 1 - \frac{4}{n}.$$

$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

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Hier ist der RCode, der die Bilder erzeugt hat.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))