Kann man die Autokorrelation von Kovarianzmatrizen berechnen, die von MCMC abgetastet wurden?

Stellen Sie sich vor, wir probieren eine Kovarianzmatrix aus einer Wishart-Verteilung von MCMC.

Bei jeder Iteration erhalten wir eine neue Beispielmatrix aus der Wishart-Verteilung.$S_i$

Frage : Kann ich angesichts der Kurve, die alle Stichproben , die Autokorrelation dieser Stichproben darstellen?$S_1,...S_n$

Ich habe jemanden gesehen, der die Autokorrelation von , aber ich habe keine Rechtfertigung gefunden.$\log(\det(S))$

So wie ich es sehe, zeichnen Sie beim Zeichnen von Matrizen aus einer Wishart-Verteilung wirklich spezifisch verwandte univariate Zufallsvariablen zu jedem Zeitschritt. Das heißt, nur der Teil eines [= der obere dreieckige Teil] ist zufällig, und die Symmetrie gibt Ihnen den Rest. Mit anderen Worten, die Autokorrelation wird paarweise für zwei beliebige Einträge der dimensionalen Vektoren und für beliebige . Dies führt natürlich zu einer möglicherweise undurchführbar großen Anzahl von$p \times p$$S_1, S_2, \dots S_n$$p\cdot (p+1)/2$$\text{vech}(S_i)$$S_i$$p\cdot (p+1)/2$$\text{vech}(S_i)$$\text{vech}(S_{i-h})$$h>0$$(p\cdot (p+1)/2)^2$univariate Autokorrelationen zum Verfolgen, und da die Einträge jedes in einem engen Verhältnis zueinander stehen (siehe zum Beispiel die Definition, die über Draws von einem Normalen hier gegeben wird: https://en.wikipedia.org/ wiki / Wishart_distribution ), ich könnte mir gut vorstellen, dass Sie Informationen durch diese univariate Analyse verwerfen. Davon abgesehen können die univariaten Autokorrelationen eintragsmäßig berechnet werden, indem zuerst Klar,$\text{vech}(S_i)$

$$\begin{align} \bar{S} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{vech}(S_i) \\ \bar{S_h} & = \frac{1}{n-h}\sum_{i=h+1}^n \text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T. \end{align}$$ $\bar{S}$ist ein natürlicher Schätzer für den oberen dreieckigen Teil der Erwartung (den Sie durch die wahre Erwartung Ihrer Wishart-Verteilung ersetzen können, wenn sie Ihnen bekannt ist). In ähnlicher Weise ist ein natürlicher Schätzer für den Moment . Zuletzt sei angemerkt, dass man gelangt zu den Autokorrelationsschätzungen für über Wie bereits erwähnt, erhalten Sie die$\bar{S}_h$$\mathbb{E}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T)$ $$\begin{align} \text{Cov}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T) = \mathbb{E}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T) - \mathbb{E}(\text{vech}(S_i))\mathbb{E}(\text{vech}(S_i))^T, \end{align}$$ $A(h)$$\text{vech}(S_i)$ $$\begin{align} A(h) &= \bar{S}_h - \bar{S}\bar{S}^T. \end{align}$$ $(p\cdot (p+1)/2)^2$ Autokorrelationen jedes Wishart-Matrixeintrags miteinander untereinander. Wenn dies zu viele Informationen sind, um sie anzuzeigen, besteht eine Strategie, die Sie ergreifen könnten, darin, die univariate Zeitreihe dh Sie nehmen einfach den Durchschnitt des absoluten Werts der Autokorrelation. Wenn Sie sich nur für positive Autokorrelationen interessieren und nicht glauben, dass eine negative Autokorrelation schädlich ist, dann sparen Sie sich der absolute Wert. Wenn Sie der Meinung sind, dass die Autokorrelation entlang der Diagonale schlechter ist als außerhalb der Diagonale oder umgekehrt, können Sie Gewichte hinzufügen. $$\begin{align} a(h) &= \frac{1}{(p\cdot (p+1)/2)^2}\sum_{i=1}^{(p\cdot (p+1)/2}\sum_{j=1}^{(p\cdot (p+1)/2}|A(h)_{ij}|, \end{align}$$ $w_{ij}$ die diese "Verlustfunktion" berücksichtigen.