Problem mit der Glühbirnenfarbe

Bitte schauen Sie sich zuerst das folgende kleine Problem an:

Es gibt zwei nicht unterscheidbare Glühbirnen A und B. A blinkt rot mit Prob .8 und blau mit Prob .2; B rot mit .2 und blau .8. Jetzt mit 0,5 prob wird Ihnen entweder A oder B angezeigt. Sie sollten die Blitzfarbe beobachten, um eine bestmögliche Vermutung (Maximierung der Wahrscheinlichkeit einer korrekten Vermutung) zu treffen, um welche Glühbirne es sich handelt. Bevor Sie jedoch mit Beobachtungen beginnen, müssen Sie entscheiden, wie oft Sie sie beobachten möchten (sagen Sie n-mal, dann beobachten Sie, wie sie n-mal blinken, und raten Sie). Angenommen, die Blitze sind unabhängig.

Intuitiv würde man denken, je mehr Beobachtungen man macht, desto besser sind die Chancen. Seltsamerweise ist es einfach zu berechnen, dass sich n = 2 gegenüber n = 1 nicht verbessert und n = 4 sich gegenüber n = 3 nicht verbessert. Ich bin nicht weiter gegangen, aber ich spekuliere, dass n = 2k n = 2k-1 nicht verbessert. Ich kann es für den allgemeinen Fall nicht beweisen. Aber ist es wahr? Wenn ja, wie kann man das Ergebnis intuitiv verstehen?

Sie haben Recht: verbessert sich in diesem symmetrischen Fall nicht gegenüber .n = 2 k - $n=2k$$n=2k-1$

Die optimale Strategie besteht eindeutig darin, die Anzahl der roten und blauen Blitze zu überprüfen und A oder B auszuwählen, je nachdem, welche Farbe mehr erscheint. Wenn von jedem die gleiche Anzahl angezeigt wird, spielt dies keine Rolle, da Ihre Wahrscheinlichkeit, korrekt zu sein, in dieser Situation beträgt .$0.5$

Wenn nach Blitzen die Mehrheit einer Farbe vorhanden ist, muss die Mehrheit gerade und mindestens 2 sein, damit die Farbe nach Blitzen ebenfalls eine Mehrheit von mindestens 1 aufweist . Wenn nach Blitzen Gleichheit besteht , ist die Auswahl der Farbe mit einer Mehrheit nach Blitzen genauso gut wie jede andere Entscheidungsregel in dieser Situation. Bei einer geraden Anzahl von Blitzen hilft Ihnen der endgültige Blitz nicht dabei, Ihre Änderung der Vermutung richtig zu verbessern. 2 k - 1 2 k 2 k - $2k$$2k-1$$2k$$2k-1$

Um genau zu antworten, läuft dieses Problem darauf hinaus, die Anzahl der roten Blitze zu beobachten, die entweder ein Binomial B ( n , .8 ) (A) oder ein Binomial B ( n , .8 ) (B) mit Wahrscheinlichkeit sind 0,5 für jeden. Die Wahrscheinlichkeit der Auswahl der Glühlampe A ergibt sich somit aus dem Bayes-Theorem P ( b = A | X = x ) = P ( X = x | b = A $X$$\mathcal{B}(n,.8)$$\mathcal{B}(n,.8)$$0.5$ also ist dies Daher wird A (bzw. B) gewählt, wenn(bzw.) ist. Wenn also, ist die Wahrscheinlichkeit, A richtig zu wählen,

$$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x|b=A)}{\mathbb{P}(X=x|b=A)+\mathbb{P}(X=x|b=B)}$$ n-2x<0n-2x>0n=2k-1P(X>(2k-1)/2|b=A)=P(X≥k|b=A)= 2 k - 1 ∑ x $$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}}{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}+{n \choose x} 0.2^x 0.8^{n-x}}=\dfrac{1}{1+4^{n-2x}}$$ $n-2x<0$$n-2x>0$$n=2k-1$ $$\mathbb{P}(X>(2k-1)/2|b=A) = \mathbb{P}(X\ge k|b=A) =\sum_{x=k}^{2k-1} {2k-1 \choose x} 0.8^x 0.2^{2k-1-x}\,.$$