Man beweise, dass

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Ich habe diese Gleichheit wobei A und B quadratische symmetrische Matrizen sind.

(A1+B1)1=A(A+B)1B
AB

Ich habe viele Tests von R und Matlab durchgeführt, die zeigen, dass dies zutrifft, aber ich weiß nicht, wie ich es beweisen soll.

Wis
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Dies ist ein Sonderfall des binomialen inversen Satzes
Jeremias K

Antworten:

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Angenommen, A , B , A+B und A1+B1 sind alle invertierbar, beachten Sie Folgendes

A1+B1=B1+A1=B1(A+B)A1

und dann beide Seiten umkehren , QED .

Symmetrie ist dafür nicht erforderlich.

whuber
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Beachten Sie, dass

A(A+B)1B

ist die Umkehrung von

(A1+B1)

dann und nur dann, wenn

A(A+B)1B(A1+B1)=I

und

(A1+B1)A(A+B)1B=I

so dass die linken und rechten Umkehrungen zusammenfallen. Lassen Sie uns die erste Aussage beweisen. Wir können das sehen

A(A+B)1B(A1+B1)=A(A+B)1(BA1+I)=A(A+B)1(A+B)A1=I

wie gewünscht. Ein ähnlicher Trick wird auch die zweite Aussage beweisen. Somit ist in der Tat die Umkehrung von .A(A+B)1B(A1+B1)

JohnK
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