Beispiele aus dem wirklichen Leben für den Unterschied zwischen Unabhängigkeit und Korrelation

Es ist bekannt, dass die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen eine Nullkorrelation impliziert, eine Nullkorrelation jedoch keine Unabhängigkeit implizieren muss.

Ich bin auf viele mathematische Beispiele gestoßen, die die Abhängigkeit trotz Nullkorrelation demonstrieren. Gibt es Beispiele aus dem wirklichen Leben, die diese Tatsache unterstützen?

Aktienrenditen sind ein gutes Beispiel dafür, was Sie verlangen. Zwischen der heutigen und der gestrigen S & P 500-Rendite besteht eine Korrelation nahe Null. Es besteht jedoch eine klare Abhängigkeit: Die quadratischen Renditen sind positiv autokorreliert; Perioden mit hoher Volatilität werden zeitlich gebündelt.

R-Code:

library(ggplot2)
library(grid)
library(quantmod)

symbols   <- new.env()
date_from <- as.Date("1960-01-01")
date_to   <- as.Date("2016-02-01")
getSymbols("^GSPC", env=symbols, src="yahoo", from=date_from, to=date_to)  # S&P500

df <- data.frame(close=as.numeric(symbols$GSPC$GSPC.Close),
                 date=index(symbols$GSPC))
df$log_return     <- c(NA, diff(log(df$close)))
df$log_return_lag <- c(NA, head(df$log_return, nrow(df) - 1))

cor(df$log_return,   df$log_return_lag,   use="pairwise.complete.obs")  # 0.02
cor(df$log_return^2, df$log_return_lag^2, use="pairwise.complete.obs")  # 0.14

acf(df$log_return,     na.action=na.pass)  # Basically zero autocorrelation
acf((df$log_return^2), na.action=na.pass)  # Squared returns positively autocorrelated

p <- (ggplot(df, aes(x=date, y=log_return)) +
      geom_point(alpha=0.5) +
      theme_bw() + theme(panel.border=element_blank()))
p
ggsave("log_returns_s&p.png", p, width=10, height=8)

Die Zeitreihen des Protokolls werden auf dem S & P 500 zurückgegeben:

Wenn die Renditen zeitlich unabhängig (und stationär) wären, wäre es sehr unwahrscheinlich, dass diese Muster der Cluster-Volatilität auftreten, und Sie würden keine Autokorrelation in quadratischen Log-Renditen sehen.

Ein weiteres Beispiel ist die Beziehung zwischen Stress und Noten bei einer Prüfung. Die Beziehung ist eine inverse U-Form und die Korrelation ist sehr gering, obwohl die Ursache ziemlich klar zu sein scheint.