Verknüpfung zwischen Varianz und paarweisen Abständen innerhalb einer Variablen

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Bitte beweisen Sie, dass, wenn wir zwei Variablen (gleiche Stichprobengröße) und Y haben und die Varianz in X größer als in Y ist , die Summe der quadrierten Differenzen (dh der quadrierten euklidischen Abstände) zwischen Datenpunkten in X ebenfalls größer als ist dass innerhalb von Y .XYXYXY

ttnphns
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Bitte klären Sie: Wenn Sie Varianz sagen , meinen Sie damit Varianz in der Stichprobe ? Wenn Sie sagen Summe von quadrierten Differenzen tun Sie Mittelwert ? i,j(xixj)2
Kardinal
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Unter der Annahme der vorstehenden: Indem für Elemente in der Kreuzterm sorgfältig Buchhaltung. Ich stelle mir vor, Sie können die (kleinen Lücken) ausfüllen. Das Ergebnis folgt dann trivial.
i,j(xixj)2=ij((xix¯)(xjx¯))2=2ni=1n(xix¯)2,
Kardinal
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Es gibt auch eine Möglichkeit, dies "ohne" Berechnung zu bewerkstelligen, indem die Tatsache berücksichtigt wird, dass E ( X 1 - X 2 ) 2 = 2 V ist , wenn und X 2 aus F (mit einer genau definierten Varianz) stammen a r ( X 1 ) . Es erfordert jedoch ein etwas tieferes Verständnis der Wahrscheinlichkeitskonzepte. X1X2FE(X1X2)2=2Var(X1)
Kardinal
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For a related question, I used a visualization of what's going on here in a reply at stats.stackexchange.com/a/18200: the squared differences are areas of squares.
whuber
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@whuber: Very nice. Somehow I had missed this answer of yours along the way.
cardinal

Antworten:

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Just to provide an "official" answer, to supplement the solutions sketched in the comments, notice

  1. None of Var((Xi)), Var((Yi)), i,j(XiXj)2, or i,j(YiYj)2 are changed by shifting all Xi uniformly to Xiμ for some constant μ or shifting all Yi to Yiν for some constant ν. Thus we may assume such shifts have been performed to make Xi=Yi=0, whence Var((Xi))=Xi2 and Var((Yi))=Yi2.

  2. After clearing common factors from each side and using (1), the question asks to show that Xi2Yi2 implies i,j(XiXj)2i,j(YiYj)2.

  3. Simple expansion of the squares and rearranging the sums give

    i,j(XiXj)2=2Xi22(Xi)(Xj)=2Xi2=2Var((Xi))
    with a similar result for the Y's.

The proof is immediate.

whuber
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