Bitte beweisen Sie, dass, wenn wir zwei Variablen (gleiche Stichprobengröße) und Y haben und die Varianz in X größer als in Y ist , die Summe der quadrierten Differenzen (dh der quadrierten euklidischen Abstände) zwischen Datenpunkten in X ebenfalls größer als ist dass innerhalb von Y .
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Antworten:
Just to provide an "official" answer, to supplement the solutions sketched in the comments, notice
None ofVar((Xi)) , Var((Yi)) , ∑i,j(Xi−Xj)2 , or ∑i,j(Yi−Yj)2 are changed by shifting all Xi uniformly to Xi−μ for some constant μ or shifting all Yi to Yi−ν for some constant ν . Thus we may assume such shifts have been performed to make ∑Xi=∑Yi=0 , whence Var((Xi))=∑X2i and Var((Yi))=∑Y2i .
After clearing common factors from each side and using (1), the question asks to show that∑X2i≥∑Y2i implies ∑i,j(Xi−Xj)2≥∑i,j(Yi−Yj)2 .
Simple expansion of the squares and rearranging the sums give
The proof is immediate.
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