Nützlichkeit des Frisch-Waugh-Theorems

Ich soll den Satz von Frish Waugh in Ökonometrie unterrichten, den ich nicht studiert habe.

Ich habe die Mathematik dahinter verstanden und hoffe auch, dass "der Koeffizient, den Sie für einen bestimmten Koeffizienten aus einem multiplen linearen Modell erhalten, dem Koeffizienten des einfachen Regressionsmodells entspricht, wenn Sie den Einfluss der anderen Regressoren" eliminieren ". Die theoretische Idee ist also irgendwie cool. (Wenn ich total missverstanden habe, freue ich mich über eine Korrektur)

Aber hat es einige klassische / praktische Verwendungen?

EDIT : Ich habe eine Antwort akzeptiert, bin aber immer noch bereit, neue zu haben, die andere Beispiele / Anwendungen bringen.

Betrachten Sie das Datenmodell des festen Effektfensters, das auch als LSDV-Modell (Least Squares Dummy Variables) bezeichnet wird.

$b_{LSDV}$ kann berechnet werden, indem OLS direkt auf das Modell angewendet wird

$$y=X\beta+D\alpha+\epsilon,$$ wobei$D$ eine$NT\times N$ Matrix von Dummys ist und$\alpha$ die individuell spezifischen festen Effekte darstellt.

Eine andere Möglichkeit, zu berechnen, $b_{LSDV}$besteht darin, die sogenannte Innentransformation auf das übliche Modell anzuwenden , um eine herabgesetzte Version davon zu erhalten, dh

$$M_{[D]}y=M_{[D]}X\beta+M_{[D]}\epsilon.$$ Hier ist $M_{[D]}=I-D(D'D)^{-1}D'$ , die Restherstellermatrix einer Regression auf$D$ .

Durch den Frisch-Waugh-Lovell Satz, die beide sind gleichwertig, wie FWL sagt , dass Sie eine Teilmenge von Regressionskoeffizienten einer Regression berechnen können (hier β$\hat\beta$ ) durch

1. Regression von auf die anderen Regressoren (hier D ), Speichern der Residuen (hier das zeitgeminderte y oder M [ D $y$$D$$y$ , weil die Regression auf eine Konstante nur die Variablen herabsetzt), dann$M_{[D]}y$
2. Regression des auf D und Speichern der Residuen M [ D $X$$D$ und$M_{[D]}X$
3. die Residuen aufeinander regressieren, auf M [ D $M_{[D]}y$ .$M_{[D]}X$

Die zweite Version wird viel häufiger verwendet, da typische Paneldatensätze möglicherweise Tausende von Panel-Einheiten , sodass Sie beim ersten Ansatz eine Regression mit Tausenden von Regressoren durchführen müssten, was zahlenmäßig auch heutzutage mit schnell keine gute Idee ist Computer, da das Berechnen der Inversen von ( D : X ) ' ( D : X ) sehr teuer wäre, während das zeitliche Verringern von y und X mit geringen Kosten verbunden ist.$N$$(D :X)'(D: X)$$y$$X$

Hier ist eine vereinfachte Version meiner ersten Antwort, die meiner Meinung nach weniger relevant ist, aber möglicherweise leichter für den Unterricht zu "verkaufen" ist.

Die Regressionen und y i - ˉ y = K Σ j = 2 β j ( x i j - ˉ x j ) + ~ ε i identisch Ausbeute β j , j = 2 , ...

$$y_i = \beta_1 + \sum_{j=2}^K\beta_jx_{ij} + \epsilon_i$$ $$y_i-\bar{y} = \sum^K_{j=2}\beta_j(x_{ij} - \bar{x}_j) + \tilde{\epsilon}_i$$ $\widehat{\beta}_j$$j=2,\ldots,K$ . Dies kann wie folgt gesehen werden: nimm und damit M 1 = I - 1 ( 1 ' 1 ) - 1 1 ' = I - 1 1$\mathbf{x}_1=\mathbf{1}:=(1,\ldots,1)'$ so dass M1xj=xj-1n-11'xj=xj-1 ≤ x j=:xj- ≤ x j. Daher sind die Residuen einer Regression von Variablen auf einer KonstantenM1xjnur die erniedrigten Variablen (dieselbe Logik gilt natürlich füryi). $$M_\mathbf{1}=I-\mathbf{1}(\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1}\mathbf{1}'=I-\frac{\mathbf{1}\mathbf{1}'}{n},$$ $$M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1} n^{-1}\mathbf{1}'\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1}\bar{x}_j=:\mathbf{x}_j-\bar{\mathbf{x}}_j.$$ $M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j$$y_i$

Hier ist eine andere, indirektere, aber meiner Meinung nach interessante, nämlich der Zusammenhang zwischen verschiedenen Ansätzen zur Berechnung des partiellen Autokorrelationskoeffizienten einer stationären Zeitreihe.

Definition 1

$$\begin{equation} \hat{Y}_{t}-\mu=\alpha^{(m)}_1(Y_{t-1}-\mu)+\alpha^{(m)}_2(Y_{t-2}-\mu)+\ldots+\alpha^{(m)}_m(Y_{t-m}-\mu) \end{equation}$$ $m$$\alpha^{(m)}_m$

$m$$Y_t$$Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$$\rho_m$$Y_t$$Y_{t-m}$

$\alpha^{(m)}_j$$Z_t$$X_t$

$$\begin{equation} E[X_t(Z_t-X_t^\top\mathbf{\alpha}^{(m)})]=0 \end{equation}$$ $\mathbf{\alpha}^{(m)}$ we find the linear projection coefficients $$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=[E(X_tX_t^\top)]^{-1}E[X_tZ_t] \end{equation}$$ Applying this formula to $Z_t=Y_t-\mu$ and $$X_t=[(Y_{t-1}-\mu),(Y_{t-2}-\mu),\ldots,(Y_{t-m}-\mu)]^\top$$ we have $$E(X_tX_t^\top)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)$$ Also, $$E(X_tZ_t)=\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)$$ Hence, $$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)\end{equation}$$ The $m$th partial correlation then is the last element of the vector $\mathbf{\alpha}^{(m)}$.

So, we sort of run a multiple regression and find one coefficient of interest while controlling for the others.

Definition 2

The $m$th partial correlation is the correlation of the prediction error of $Y_{t+m}$ predicted with $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$ with the prediction error of $Y_{t}$ predicted with $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$.

So, we sort of first control for the intermediate lags and then compute the correlation of the residuals.