Mit "stationär" meine ich "schwach stationär".
Betrachten Sie eine "stationäre" AR (1) -Gleichung:
wobei diskrete Zeitmomente sind, ein null-mittleres weißes Rauschen (nur eine iid-Sequenz), . Es ist bekannt, dass es eine stationäre Lösung gibt (dh eine diskrete Zeitreihe, die die Gleichung erfüllt). Bezeichne es mitWir können jedoch eine andere Zeitreihe einführen , die eine instationäre Lösung für die "stationäre" Gleichung zu sein scheint (klar ist nicht frei von , da offensichtlich ist Null Bedeutung).
Ist es bei einem allgemeineren stationären AR ( ) -Prozess möglich, die schwache Stationaritätseigenschaft irgendwie zu beschädigen? Oder ist es im Allgemeinen wahr, dass jede stationäre zeitdiskrete AR- (oder sogar ARMA-) Gleichung eine nichtstationäre Lösung hat?
Antworten:
Wenn Sie Ihren Prozess fortsetzen, werden Sie feststellen, wie der Begriff verschwindet:φt
Also, obwohl die rechte Seite von endlichem abhängig ist .
So ist die Antwort auf Ihre Frage ist , dass Ihr Prozess ist nicht nicht-stationär. Daher dient es nicht als Gegenbeispiel.Yt
Zusätzliche Gedanken . Sie haben Ihre Frage nach Lösungen der stochastischen Prozesse formuliert . Schauen Sie sich an, was die Lösung des AR (1) -Prozesses ist.
Wenn Sie beispielsweise Schritte voraussagen, erhalten Sie:τ
Sie können sehen, wie es einfach zu dem Rauschen um Null zusammenfällt, wenn wächst, unabhängig davon, was das anfängliche . Wenn Sie Ihren Term hinzufügen, verschwindet er ebenfalls, sodass die stabile Lösung dieselbe ist: Rauschen um Null:τ Xt φτ
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Die in der Frage verwendete Terminologie ist nicht ganz richtig. Sie verwechseln das Modell (oder die Gleichungen) und die Lösung des Modells.
Es ist nicht sinnvoll, von einer stationären oder instationären Gleichung (in diesem Fall einem System stochastischer Differenzgleichungen) zu sprechen. Die fehlende Stationarität ist eine Eigenschaft einer Lösung. Eine Gleichung kann stationäre oder instationäre Lösungen haben.
Was Sie gefunden haben, sind zwei Lösungen, eine stationäre und eine instationäre, für die AR (1) -Gleichung, wenn der AR-Parameter . (Wenn , Ersatz für in Ihrem Beispiel) . Im Gegensatz dazu, wenn gibt es nur instationäre Lösungen.|ϕ|≠1 |ϕ|>1 −t t |ϕ|=1
Die Antwort auf Ihre Frage lautet: Ja, dies verallgemeinert sich auf den Fall AR (p). Die AR (p) -Gleichung (en) hat sowohl stationäre als auch instationäre Lösungen, wenn das Polynom keine Wurzeln auf dem Einheitskreis hat und alle Wurzeln real sind.Φ(L)Xt=ϵt,t=⋯−1,0,1,⋯ Φ(z−p)
Angenommen, das AR (2) -Modell hat eine stationäre Lösung und hat zwei reelle Wurzeln und , dann ist eine instationäre Lösung.Xt=ϕ1Xt−1+ϕ2Xt−2+ϵt (Xt) z2−ϕ1z−ϕ2 a b Xt+at+bt−1
Wenn Sie einstellen und berücksichtigen, wird Ihr AR (1) wiederhergestellt.ϕ2=0 z−ϕ1=0
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