Ein Name für bedienerabhängiges Kreuzprodukt

Angenommen, wir haben eine $\\n\times p$ Matrix $\mathbf{M}$ . Unterschiedliche Transformationen mit unterschiedlichen spaltenweisen Operatoren können zu neuen führen $\\p\times p$ symmetrische Matrix . Zum Beispiel kann die Kovarianzmatrix unter Verwendung des Punktproduktoperators berechnet werden , wobei jeder Wert der Kovarianzmatrix das Punktprodukt zweier Spalten der ursprünglichen Matrix (geteilt durch ) ist. :: $\mathbf{S}$ $\mathbf{C}$ $\mathbf{M}$ $n-1$

$\mathbf{C} = { 1 \over {n-1} } \mathbf{M}^{T} \cdot \mathbf{M}$

Ebenso die Korrelationsmatrix $\mathbf{P}$ kann definiert werden durch $\mathbf{P}_{ij} = \mathrm{corr}(C_i,C_j)$ wo $\mathbf{C}_i$ und $\mathbf{C}_j$ sind Spalten von $\mathbf{C}$ , und $\mathrm{corr}$ ist ein Maß für die Korrelation wie der Pearson-Produkt-Moment-Koeffizient . In diesem Fall ist der Operator der bivariate Korrelationskoeffizient.

Hat diese bedienerabhängige Transformation einen Namen?

correlation terminology covariance-matrix Ismael Ghalimi
quelle

In dieser Antwort habe ich skizziert, wie all diese Matrizen die Modifikationen der SSCP- X'XMatrix sind. Für weiteres schulisches Interesse: Zegers, ten Berge (Psychometrica, 1985) vereinigen sich durch die einzelnen allgemeinen Formel-4-Koeffizienten: Identitätskoeffizient, Additivitätskoeffizient (basierend auf Kovarianzkoeffizient), Kosinus, Pearson-Korrelation.

ttnphns

Ich würde nicht empfehlen, dem Wikipedia-Artikel über "Gramian Matrix" zu glauben. Eigentlich bedeutet "Gramian" verschiedene Dinge. Beispielsweise wird dieses Wort in der Literatur zur Faktoranalyse lange (seit den 1930er Jahren) als Synonym für "positive semidefinite quadratische Matrix" verwendet. In vielen Quellen ist "Gram-Matrix" nicht dasselbe wie "Gramian-Matrix" und so weiter.

ttnphns

Einige vektororientierte Computersysteme wie APL und Mathematica verfügen über integrierte Verallgemeinerungen dieses Typs. Siehe beispielsweise reference.wolfram.com/language/ref/Inner.html .

whuber

Ismael: Wenn Sie ein Etikett für die X'XMatrix benötigen, gibt es viele oder gleichwertige, die von Menschen mit unterschiedlichen Bereichen und Hintergründen stammen. Die multivariate statistische Datenanalyse ist einer der ältesten Zweige. Dort wird es als Summe der Quadrate und Kreuzprodukte oder einfach als Kreuzproduktmatrix bezeichnet. Ich empfehle aus den in meinem obigen Kommentar genannten Gründen nicht viel, die Wörter Gramian oder Gram zu verwenden.

ttnphns

@ttnphns Ich denke, Ismaels Frage ist weiter gefasst, er möchte einen Namen für jeden

f (X_{i}, X_{j})

$f(X_i, X_j)$ Matrix wo

f ()

$f()$ kann jede (vielleicht nur symmetrische?) Funktion sein (und

X_{i}

$X_i$ sind Spalten von

X

$X$ ); zB a

p \times p

$p\times p$ Matrix der gegenseitigen Information zwischen Variablen oder a

p \times p

$p\times p$ Matrix von Distanzkovarianzen zwischen ihnen, von was auch immer. Ismael, habe ich richtig verstanden? Wenn ja, dann glaube ich nicht, dass es dafür einen allgemeinen Namen gibt.

Amöbe

Antworten:

Mein Verständnis der Frage ist, dass sie nach einem Namen für irgendeinen fragt $p\times p$ Matrix $\mathbf F$ mit Elementen $F_{ij} = f(\mathbf X_i, \mathbf X_j)$ , wo $\mathbf X_k$ sind Spalten von a $n\times p$ Datenmatrix $\mathbf X$ und $f(\cdot, \cdot)$ ist eine beliebige Funktion.

Dies kann als Verallgemeinerung der Kovarianzmatrix angesehen werden (wenn $f$ ist Kovarianz), Korrelationsmatrix (wenn $f$ ist Korrelation), Summe der Quadrate und Kreuzproduktmatrix (wenn $f$ ist Punktprodukt) usw.

Beachten Sie, dass auch wenn $f$ ist symmetrisch und "sinnvoll", die resultierende Matrix $\mathbf F$ kann nicht positiv-definitiv sein. Dies ist zB der Fall, wenn $f$ ist gegenseitige Information ( wie im Titel dieses Papiers angegeben ).

Ich bezweifle, dass es einen Oberbegriff für gibt $\mathbf F$ . Wenn Sie wirklich einen Namen dafür haben müssen, sollten Sie einen erfinden. Wenn dein $f$ soll eine Beziehung zwischen Variablen messen $i$ und $j$ , dann vielleicht $\mathbf F$ kann als "Beziehungsmatrix" oder einfach als "Beziehungsmatrix" bezeichnet werden?

Amöbe
quelle

Ich denke, Sie können die Sprache der Reproduktion von Kernel-Hilbert-Räumen verwenden und überlegen

F

$\mathbf F$ die mit dem Kernel verknüpfte Gram-Matrix zu sein

f

$f$ , unter der Voraussetzung

f

$f$ erfüllt die Standardbedingungen.

Kardinal

@ Cardinal Ich überlegte, ob ich das in meiner Antwort erwähnen sollte. Aber normalerweise wird Kernel-Matrix (Gram-Matrix) so verstanden

n \times n

$n\times n$ , dh es misst die "Beziehungen" (Kernelabstände) zwischen den Stichproben, während hier OP a berücksichtigt

p \times p

$p \times p$ Matrix zur Messung der "Beziehungen" zwischen den Variablen. Also dachte ich mir, dass es verwirrend sein könnte, es Kernel / Gram-Matrix zu nennen. Was denken Sie? (Man kann auch Funktionen in Betracht ziehen, die die Kernel-Bedingungen nicht erfüllen, z. B. anscheinend gegenseitige Informationen.)

Amöbe

(+1) Während die Unterscheidung zwischen "Zeilen" und "Spalten" in gewissem Sinne etwas oberflächlich erscheint, sprechen Sie in meinem Kommentar einen sehr zutreffenden Punkt in Bezug auf die mögliche Verwirrung an, die durch den Vorschlag verursacht werden könnte.

Kardinal

Vielen Dank, dass Sie die Unterscheidung mit Gram-Matrizen klargestellt haben. Sehr hilfreich.

Ismael Ghalimi