Fourier-Transformation von Verteilungen

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Welche Verteilungen sind neben der Normalverteilung und der verallgemeinerten Arkussinusverteilung ihre eigene Fourier-Transformation ?

Neil G.
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Angenommen, die Fourier-Transformation von ist X ( f ), wobei X ( f ) = - x ( t ) exp ( - i 2 π f t ) d t, wobei i = x(t)X(f)

X(f)=x(t)exp(i2πft)dt
. Die inverse Transformation ist x(t)=- X(f)exp(i2πft)dfi=1
x(t)=X(f)exp(i2πft)df

Einige Eigenschaften der Fourier-Transformation sind wie folgt:

  • Die Fourier-Transformation von ist x ( - f )X(t)x(f)

  • Wenn eine reelle gerade Funktion von t ist , dann ist X ( f ) eine reelle gerade Funktion von f .x(t)tX(f)f

x(t)tX(t)x(f)

x(t)x(t)0tx(0)=1X(f)X(f)0f

x(0)=1=X(f)df
X(f)f1X(f)X(0)=1
x1(t)=exp(πt2),  X1(f)=exp(πf2)
x2(t)=(1|t|)1[1,1],  X2(f)=sinc2(f)={(sin(πf)πf)2,f0,1,f=0.

12x2(t)+12X2(t)12X2(f)+12x2(f)

x(t)X(f)12x(t)+12X(t)

x1(t)12x2(t)+12X2(t)

αx1(t)+(1α)[12x2(t)+12X2(t)]
α[0,1]
Dilip Sarwate
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X(f)X(f)df<X(f)