Ist die Summe zweier Variablen unabhängig von einer dritten Variablen, wenn sie für sich genommen so sind?

Angesichts 3 Zufallsvariablen , und . und sind unabhängig. und sind unabhängig. Intuitiv würde ich annehmen, dass und unabhängig sind. Ist dies der Fall und wie kann ich es formal beweisen?$X_1$$X_2$$Y$$Y$$X_1$$Y$$X_2$$Y$$X_1+X_2$

BEARBEITEN: Wie von anderen Benutzern hervorgehoben, ist diese Antwort nicht korrekt, da davon ausgegangen wird, dass $Y$ unabhängig von $(X_1,X_2)$

Beachten Sie, dass $X_1 + X_2$ eine Funktion von $Z = (X_1,X_2)$ denn wenn Sie

Es ist ein bekannter Satz der Wahrscheinlichkeit, dass wenn $R_1$ und $R_2$ unabhängige Zufallsvariablen sind und $f_1$ und $f_2$ messbare Funktionen sind, $f_1(R_1)$ unabhängig von $f_2(R_2)$ (Satz 10.4 von "Wahrscheinlichkeit" : A Graduate Course "2. Aufl. Von Allan Gut).

Da $f$ messbar und Y unabhängig von $Z$ , wissen wir, dass $Y$ auch unabhängig von $f(Z) = X_1 + X_2$ . Beachten Sie, dass wir $f_1$ als Identitätsfunktion genommen haben und $f_2 = f$ .

(Um diesen Thread zu vervollständigen, erhebe ich einen Kommentar von user233740 zu einer Antwort.)

Die Aussage ist nicht wahr.

Die Möglichkeit, dass $X_1+X_2$ nicht unabhängig von $Y$ ist, erinnert stark an das bekannte Lehrbuchproblem bezüglich trivariater Zufallsvariablen $(X_1,X_2,Y)$ , die paarweise unabhängig, aber nicht unabhängig sind. In diesem Sinne betrachten wir das einfachste Beispiel, nämlich die gleichmäßige zufällige Auswahl einer der Zeilen dieser Matrix:

Sie können sehen , dass zwei Spalten bestimmen unabhängige Bernoulli $(1/2)$ Variablen, aber die drei sind nicht unabhängig , weil der dritte von den beiden anderen bestimmt werden kann.

Wählen wir dann zwei dieser Spalten aus, die als $X_1$ und $X_2,$ und lassen Sie $Y$ die dritte sein. Beachten Sie, dass , wenn $Y=0,$ $X_1+X_2$ ist entweder $0$ oder $2$ (mit gleicher Wahrscheinlichkeit), aber , wenn $Y=1,$ $X_1+X_2=1.$ Somit ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion