Varianz des Produkts mehrerer Zufallsvariablen

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Wir kennen die Antwort für zwei unabhängige Variablen:

Var(XY)=E(X2Y2)(E(XY))2=Var(X)Var(Y)+Var(X)(E(Y))2+Var(Y)(E(X))2

Wenn wir jedoch das Produkt von mehr als zwei Variablen nehmen, , was wäre die Antwort in Bezug auf den Abweichungen und die erwarteten Werte der einzelnen Variablen?Var(X1X2Xn)

damla
quelle
5
Da eine Zufallsvariable ist und (unter der Annahme, dass alle X i unabhängig sind) unabhängig von X n ist , wird die Antwort induktiv erhalten: Es wird nichts Neues benötigt. Damit dies nicht zu mysteriös erscheint, unterscheidet sich die Technik nicht davon, darauf hinzuweisen, dass Sie, da Sie mit einem Taschenrechner zwei Zahlen hinzufügen können, durch wiederholtes Hinzufügen von n Zahlen mit demselben Taschenrechner weitere Zahlen hinzufügen können . X1X2Xn1XiXnn
Whuber
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Könnten Sie einen Beweis für Ihre angezeigte Gleichung schreiben ? Ich bin , um herauszufinden , neugierig , was mit dem passiert Begriff, sollten Sie einige Begriffe beteiligt sind , cov ( X , Y ) . (E[XY])2cov(X,Y)
Dilip Sarwate
5
@ DilipSarwate, ich vermute, diese Frage geht stillschweigend davon aus, dass und Y unabhängig sind. Die OP-Formel ist immer dann korrekt, wenn sowohl X , Y als auch X 2 , Y 2 nicht korreliert sind. Meine Antwort auf eine verwandte Frage finden Sie hier . XYX,YX2,Y2
Makro
5
@Macro Mir sind die Punkte bekannt, die Sie ansprechen. Was ich versuchte, das OP zu verstehen und / oder für sich selbst herauszufinden, war das für unabhängige Zufallsvariablen, so wie sich zu E [ X 2 Y 2 ] = E [ X 2 ] vereinfacht. E [ Y 2 ] = ( σ 2 X + μ 2 X ) ( σ 2 Y + μ 2 YE[X2Y2]E [ ( X 1X n ) 2 ] vereinfachtzu E [ ( X 1X n ) 2 ] = E [ X 2 1 ] E [ X 2 n ] = n Π i = 1 ( σ 2 X i + μ 2 X i )
E[X2Y2]=E[X2]E[Y2]=(σX2+μX2)(σY2+μY2),
E[(X1Xn)2]
E[(X1Xn)2]=E[X12]E[Xn2]=i=1n(σXi2+μXi2)
Ich denke, dies ist ein direkterer Weg, um zum Endergebnis zu gelangen, als die induktive Methode, auf die Whuber hingewiesen hat.
Dilip Sarwate
@ DilipSarwate, schön. Ich schlage vor, dass Sie das als Antwort posten, damit ich es unterstützen kann!
Makro

Antworten:

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X1,X2,,Xn

var(X1Xn)=E[(X1Xn)2](E[X1Xn])2=E[X12Xn2](E[(X1]E[Xn])2=E[X12]E[Xn2](E[X1])2(E[Xn])2=i=1n(var(Xi)+(E[Xi])2)i=1n(E[Xi])2
n=2n=2X1X2X1X2X12X22n3
Dilip Sarwate
quelle
Danke vielmals! Ich weiß das wirklich zu schätzen. Ja, die Frage betraf unabhängige Zufallsvariablen.
Damla
X1=X2==Xn=X
Ich habe die Frage auf einer neuen Seite veröffentlicht. Danke vielmals! stats.stackexchange.com/questions/53380/…
damla
n
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