Maximale Entropieverteilung eines Anteils mit bekanntem Mittelwert und bekannter Varianz? Ist es eine Beta?

Welche Verteilungsannahme minimiert angesichts eines Anteils und seines Standardfehlers die Annahmen / maximiert die Entropie? Ist es die Beta (und kann ich die Methode der Momente verwenden, um ihre Parameter abzuschätzen)? Oder etwas anderes?

Es ist eine abgeschnittene Normalverteilung . Dies ist eine Folge von Boltzmanns Theorem .

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Die folgende Analyse enthält die Details, die zur Implementierung einer praktischen Lösung erforderlich sind.

A Normal$(\mu,\sigma)$ Verteilung $F$ auf das Intervall abgeschnitten $[0,1]$ entsteht durch die Verwendung einer Standard-Normalvariablen $X$ mit Wahrscheinlichkeitsverteilung $\Phi$, skalieren um $\sigma$und verschob es auf $\mu$und kürzen es auf $[0,1]$. Entsprechend - rückwärts arbeiten - die ursprüngliche Variable$X$ muss auf das Intervall abgeschnitten worden sein $[-\mu/\sigma, (1-\mu)/\sigma]$ wo es eine Gesamtwahrscheinlichkeit von hatte

$$C = \Phi\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right),\tag{1}$$

Erwartung

$$\mu_1=\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_\frac{-\mu}{\sigma}^\frac{1-\mu}{\sigma} x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x,$$

und zweiter (roher) Moment

$$\mu_2 = \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_\frac{-\mu}{\sigma}^\frac{1-\mu}{\sigma} x^2\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x.$$

Vermutlich ist Ihr "Standardfehler" entweder $\sqrt{\mu_2-\mu_1^2}$ oder ein konstantes Vielfaches davon.

Diese Integrale können in Bezug auf berechnet werden

$$\mu_1(z) = \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x = -\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\tag{2}$$

und durch Teile zu integrieren,

$$\eqalign{ \mu_2(z) &= \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z (x)\left(x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\right)\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\left(x\left(-\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\right)\mid_{-\infty}^z - \int_{-\infty}^z -\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm{d}x \right)\\ &=-\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}z\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right) + \frac{1}{C}\Phi(z)\tag{3}. }$$

Somit

$$\mu_1 = \mu_1\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \mu_1\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right)$$

und

$$\mu_2 = \mu_2\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \mu_2\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right).$$

Diese Berechnungen $(1)$, $(2)$, und $(3)$ kann in jeder Software implementiert werden, in der Exponentiale, Quadratwurzeln und $\Phi$stehen zur Verfügung. Dies ermöglicht die Anwendung in jedem Anpassungsverfahren, wie z. B. der Methode der Momente oder der maximalen Wahrscheinlichkeit. Beides würde numerische Lösungen erfordern.