A ist positiv mit B verwandt.

C ist das Ergebnis von A und B, aber die Wirkung von A auf C ist negativ und die Wirkung von B auf C ist positiv.

Kann das passieren?

Die anderen Antworten sind wirklich wunderbar - sie geben Beispiele aus dem wirklichen Leben.

Ich möchte erklären, warum dies trotz unserer gegenteiligen Intuition passieren kann.

Sieh das geometrisch !

Die Korrelation ist der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren. Sie fragen sich im Wesentlichen, ob dies möglich ist

• $A$ bildet einen spitzen Winkel mit ( positive Korrelation)$B$
• $B$ bildet einen spitzen Winkel mit ( positive Korrelation)$C$
• $A$ bildet einen stumpfen Winkel mit ( negative Korrelation)C$C$

Ja natürlich:

In diesem Beispiel ( bedeutet Korrelation):$\rho$

• $A=(0.6,0.8)$
• $B=(1,0)$
• $C=(0.6,-0.8)$
• $\rho(A,B)=0.6>0$
• $\rho(B,C)=0.6>0$
• $\rho(A,C)=-0.28<0$

Ihre Intuition ist richtig!

Ihre Überraschung ist jedoch nicht verlegt.

Der Winkel zwischen Vektoren ist eine Abstandsmetrik auf der Einheitskugel, sodass die Dreiecksungleichung erfüllt wird:

da also ,$\cos \measuredangle AB = \rho(A,B)$

daher (da wird abnehmend auf )$\cos$[ 0 , π ]$[0,\pi]$

So,

• wenn , dann$\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.9$$\rho(A,B)\ge 0.62$
• wenn , dann$\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.95$$\rho(A,B)\ge 0.805$
• wenn , dann$\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.99$$\rho(A,B)\ge 0.9602$

Ja, zwei gleichzeitig auftretende Zustände können gegensätzliche Auswirkungen haben.

Beispielsweise:

• Unverschämte Äußerungen zu machen (A) steht in positivem Zusammenhang mit dem Unterhalten (B).
• Unverschämte Äußerungen (A) wirken sich negativ auf den Wahlsieg aus (C).
• Unterhaltsamkeit (B) wirkt sich positiv auf den Wahlsieg aus (C).

Ich habe diese Auto-Analogie gehört, die gut auf die Frage zutrifft:

• Bergauf fahren (A) hat einen positiven Einfluss darauf, dass der Fahrer Gas gibt (B)
• Bergauf fahren (A) wirkt sich negativ auf die Fahrzeuggeschwindigkeit aus (C)
• Gas geben (B) wirkt sich positiv auf die Fahrzeuggeschwindigkeit aus (C)

Der Schlüssel ist hier die Absicht des Fahrers, eine konstante Geschwindigkeit (C) beizubehalten, weshalb die positive Korrelation zwischen A und B natürlich aus dieser Absicht folgt. Sie können mit dieser Beziehung also endlose Beispiele für A, B, C konstruieren.

Die Analogie stammt aus einer Interpretation von Milton Friedmans Thermostat und aus einer interessanten Analyse der Geldpolitik und der Ökonometrie, aber das ist für die Frage irrelevant.

Ja, dies ist trivial mit einer Simulation zu demonstrieren:

Simulieren Sie 2 Variablen, A und B, die positiv korreliert sind:

> require(MASS)
> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(10,3,3,2),2,2)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0, 2), Sigma))
> names(dt) <- c("A","B")
> cor(dt)

          A         B
A 1.0000000 0.6707593
B 0.6707593 1.0000000

Erstelle Variable C:

> dt$C <- dt$A - dt$B + rnorm(1000,0,5)

Erblicken:

> (lm(C~A+B,data=dt))

Coefficients:
(Intercept)            A            B  
    0.03248      0.98587     -1.05113  

$\operatorname{cor}(A,B) > 0$$\operatorname{cor}(A,C) > 0$$\operatorname{cor}(B,C) < 0$

> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(1,0.5,0.5,0.5,1,-0.5,0.5,-0.5,1),3,3)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0,3), Sigma, empirical=TRUE))
> names(dt) <- c("A","B","C")
> cor(dt)
    A    B    C
A 1.0  0.5  0.5
B 0.5  1.0 -0.5
C 0.5 -0.5  1.0

Dann könnte die Kovarianz zwischen C und A unter zwei Bedingungen negativ sein:

1. $n>m,\ \left<A,A\right> < \left<B,A\right> (n-m)/n$
2. $n<-m,\ \left<A,A\right> > \left<B,A\right> (n-m)/n$