Schätzung der CAPM Beta über OLS Regresson

Ich studiere Ökonometrie aus der dritten Ausgabe von 'Introduction to Econometrics' von James H. Stock und Mark W. Watson.

Auf Seite 166 schweift es in das Beta der Aktie ab. Es sagt

Diese Betas werden in der Regel durch OLS-Regression der tatsächlichen Überschussrendite der Aktie gegen die tatsächliche Überschussrendite eines breiten Marktindex geschätzt.

Mein Sprachverständnis ist, dass das Beta der Aktie der Koeffizient des Regressors ist, der die Überschussrendite des Marktindex darstellt. Das ist:

$$(R - R_{f}) = \beta_{0} + \beta(R_{m}-R_{f})+u.$$

So schätzen Sie die Rendite einer Aktie

$$\hat{R}-R_{f}=\hat{\beta_{0}}+\hat{\beta}(R_{m}-R_{f}).$$

Aus irgendeinem Grund wird bei Hausaufgabenproblemen jedoch die folgende Gleichung verwendet, um die Rendite zu schätzen:

$$\hat{R}-R_{f}=\hat{\beta}(R_{m}-R_{f}).$$

Das ist es auferlegt $\beta_{0} = 0$.

Ich habe keinen Zweifel, dass mein Verständnis falsch ist. Jede Unterstützung wäre sehr dankbar.

Wie Stephen erwähnt, besteht die Verwirrung zwischen: (1) dem CAPM und (2) dem Marktmodell.

Lassen $R^f$bezeichnen den risikofreien Zinssatz. Wir arbeiten oft mit Überschussrenditen , bei denen der risikofreie Zinssatz abgezogen wird.

Einige einfache Modelle für erwartete Renditen

1. `` Marktmodell "

   $$R_t - R^f = \alpha + \beta\left(R^m_t - R^f \right) + \epsilon_t$$ $$E\left[ R_t \right] - R^f = \alpha + \beta\left(E[R^m_t] - R^f \right)$$ Das Marktmodell ist ein einfaches statistisches Modell und kann durch die Annahme gerechtfertigt werden, dass die gemeinsame Verteilung der monatlichen Aktienrenditen multivariat normal ist.

2. Capital Asset Pricing Model (CAPM)

   $$E\left[ R_t\right] - R^f = \beta\left(E[R^m_t] - R^f \right)$$ Das CAPM ist eine ökonomische Theorie , nach der die erwarteten Überschussrenditen einer Aktie in der Überschussrendite des Marktes linear sind$\alpha = 0$ aus der Marktmodellregression.

Beachten Sie, dass das CAPM nicht funktioniert. Es ist alles über MBA Corporate Finance, aber Asset Pricing Leute finden es nutzlos. Etwas weniger Verrücktes wäre das Fama-French 3-Faktor-Modell .

Beispiel für die Verwendung des CAPM (oder eines dieser Preismodelle für Faktor-Assets).

1. Überschussrenditen berechnen: $R_{i,t} - R^f_t$
2. Regressieren Sie Überschussrenditen auf Überschussrenditen des Marktes und eine Konstante (dh führen Sie die Marktmodellregression durch). $$R_{i,t} - R^f_t = \alpha_i + \beta_i \left( R^m_t - R^f_t \right) + \epsilon_{i,t}$$
3. Ignorieren Sie die geschätzten $\hat{\alpha}$.
4. Ihre geschätzte erwartete Überschussrendite gemäß CAPM beträgt $\hat{\beta_i} E[R^m_t - R^f_t]$.

Wenn ich mich richtig erinnere, hat dies etwas mit einer Konstante namens Jensens Alpha und der Erweiterung auf etwas zu tun, das als Multi-Faktor-Modell bezeichnet wird. Während meines Unterrichts (und auch Wikipedia) wurde das CAPM wie folgt angegeben:

$$\begin{align} \mathbb{E}[R_i] = R_{f} + \hat{\beta_{1}}(\mathbb{E}[R_{m}] - R_{f}) \end{align}$$ Wenn man Überschussrenditen nimmt, hätte man einfach: $$\begin{align} \mathbb{E}[R_i] - R_{f} = \hat{\beta_{1}}(\mathbb{E}[R_{m}] - R_{f}) \end{align}$$

Und das ist meistens in Ordnung. Diese Beziehung setzt jedoch voraus, dass alle Informationen nur aus dem Marktportfolio entnommen werden können, das über den risikofreien Zinssatz hinausgeht (d. H.$\hat{\beta_0} =0$). Es kann jedoch vorkommen, dass Ihre spezifische Rückgabe erfolgt$R_i$könnte von den Renditen des Marktportfolios abweichen. In diesem Fall fügen wir eine Konstante hinzu$\beta_0$ zum Modell, also haben wir:

$$\begin{align} R_i - R_f= \beta_0 + \beta_{1}(R_{m} - R_{f}) + \epsilon \end{align}$$ und wenn man Erwartungen nimmt $$\begin{align} \mathbb{E}[R_i] - R_{f} =\hat{\beta_0}+ \hat{\beta_{1}}(\mathbb{E}[R_{m}] - R_{f}) \end{align}$$ Angenommen, Sie berechnen die Schätzungen von $\hat{\beta_0} , \hat{\beta_1}$mit OLS. Sie haben also jetzt 2 Schätzungen für die Parameter. Die Art und Weise, wie Sie im Allgemeinen die verwenden $\hat{\beta_0}$ führt einen einfachen T-Test durch:

1: Vor dem Testen müssen Sie sicherstellen, dass die Standardfehler korrekt sind. Beachten Sie, dass der T-Test direkt davon abhängt, dass die Standardfehler homoskedastisch sind. Denken Sie also daran, dass Sie wahrscheinlich robuste Standardfehler wie Eicker-Huber-White oder Newey-West verwenden müssen.

2: Nachdem Sie sichergestellt haben, dass die Standardfehler aus Ihrer Regressionsgleichung in Ordnung sind, können Sie sich einfach den einzelnen t-Test ansehen $\hat{\beta_0}$. Auf der Grundlage der Hypothese von

$$\begin{align} H_0 : \beta_0 = 0 \quad vs \quad H1: \beta_0 \ne 0 \end{align}$$ Aufgrund der Ablehnung der Nullhypothese oder der Nichtzurückweisung können wir zwischen drei Fällen unterscheiden.

1: $\hat{\beta_0} =0$. In diesem Fall Ihre erwartete Rendite$\mathbb{E}[R_i] - R_f$ Weder übertreffen noch unterdurchschnittliche Leistungen in Bezug auf den Markt (was Ihre Hausaufgaben hier voraussetzen).

2:$\hat{\beta_0} > 0$. Hier übertrifft Ihre Rendite den Markt. In diesem Fall kann das Marktportfolio Ihre Rendite nicht vollständig erklären, und es werden zusätzliche Faktoren benötigt (Drei-Faktor-Modell oder Multi-Faktor-Modelle).

3:$\hat{\beta_0}< 0$. Wie oben, nur diesmal ist die Rendite in Bezug auf das Marktportfolio unterdurchschnittlich.

Alles in allem hängt es davon ab, ob Sie davon ausgehen, dass keine zusätzlichen Faktoren erforderlich sind, ob dieser Begriff aufgenommen werden soll oder nicht. Wenn die Frage das besagt$R_i$kann vollständig durch nur das Marktportfolio erklärt werden. Sie können diesen Begriff einfach auf Null setzen. In der Praxis würden Sie eine statistische Hypothese durchführen, um zu testen, ob sie sich signifikant von Null unterscheidet oder nicht (Jensens Alpha).