Kann der Cosinus-Kernel als Fall der Beta-Verteilung verstanden werden?

Wie von Wand und Jones (1995) festgestellt, können die meisten Standardkerne als ein Fall von angesehen werden

K (x; p) = {2^{2 p + 1} B (p + 1, p + 1)}^{- 1} (1 - x^{2})^{p} 1_{{| x | < 1}}

$K(x;p) = \{ 2^{2p+1} \; \mathrm{B}(p+1,p+1) \}^{-1} \; (1-x^2)^p \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

Familie, wobei $\mathrm{B}(\cdot,\cdot)$ eine Beta-Funktion ist. Unterschiedliche Werte von $p$ führen zu rechteckigen ( $p=0$ ), epanechnischen ( $p=1$ ), bigewichtigen ( $p=2$ ) und dreigewichteten ( $p=3$ ) Kernen.

Kann Cosinus-Kernel (wie in Rs densityFunktion verstanden),

\frac{1}{2} (1 + \cos (π x)) 1_{{| x | < 1}}

$\frac{1}{2} (1 + \cos(\pi x)) \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

auch als Mitglied dieser Familie gedacht werden? Wenn ja, was ist ein angemessener Wert von $p$ dafür? Nach einigen Simulationen schätze ich, dass $\approx 2.35$ ziemlich nahe ist, aber (wie) kann ich ohne Simulation das Richtige finden? Wenn nicht, kann es mithilfe der Beta-Verteilung angenähert werden?

Wand, MP und Jones, MC (1995). Kernel-Glättung. Chapman und Hall, London.

distributions kernel-smoothing beta-distribution Tim
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Die Beta-Funktion mit ganzzahligen Argumenten ist nur ein Verhältnis der Fakultäten, aber für nicht ganzzahlige Argumente bezweifle ich, dass sie sich zu irgendetwas Nützlichem vereinfachen würde. und es ist sicherlich nur eine Zahl, die von so dass es keine Möglichkeit gibt, aus diesem Ausdruck eine Kosinusfunktion zu erhalten.

p

$p$

Amöbe

@amoeba noch, kann es angenähert werden? Und die zweite Frage ist: Wie haben sie die Werte für die anderen Kernel gefunden?

Tim

@ Tim, was meinst du mit "wie haben sie gefunden"? Nur durch Einstecken?

Christoph Hanck

@amoeba du brauchst aber nicht den ganzen Cosinus, nur die Kurve zwischen . Wie wir wissen, ist es eine unendliche Summe von Polynomen (Taylor-Expansion um Null).

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

Firebug

@ChristophHanck richtig, das war offensichtlich, ich ziehe diese Frage zurück :) Irgendwie habe ich angefangen, über die Beta-Distribution nachzudenken, anstatt mich direkt darauf zu konzentrieren.

Tim

Antworten:

Der Cosinus-Kernel ist keine Beta-Distribution.

Beachten Sie, dass die folgenden Dinge für die Standard-Kosinusdichte zutreffen:

$f(0)=1$
$f(0.5)=0.5$
Die rechte Hälfte dieser Dichte ist um rotationssymmetrisch : (dh unter Berücksichtigung der beiden anderen Eigenschaften impliziert dies ) $x=\frac12$ $1-f(x)=f(1-x)$

Aber keine Beta-Dichte von (-1,1) hat alle diese Eigenschaften zusammen.

Die symmetrische Beta-Kerneldichte kann wie folgt geschrieben werden:

$g(x;a)= \frac{(1-x^2)^{a-1}}{\text{B}(a,a)2^{2a-1}}\,,\:-1<x<1\,,\:a>0$

Zum Beispiel impliziert die erste Bedingung ein von ungefähr ( ). Die zweite impliziert ein von 1 ( ). $a$ $3.38175$ $p=2.38175$ $a$ $p=0$

Werte von nahe dieser Wahl von (3.38175) ergeben jedoch Dichten, die dem Kosinus wirklich ziemlich nahe kommen. $a$ $a$

[Dies liegt ziemlich nahe an Ihrem (da ); Ein Wertebereich in diesem Bereich ergibt Dichten ähnlich dem Kosinus.] $p=2.35$ $p=a-1$

Die kleinste absolute Abweichung in der Dichte tritt für - nicht dass die Minimierung der absoluten Abweichungen die Eigenschaften am ähnlichsten macht. $p\approx 2.3575$

Hier ist der Cosinus und Beta (mit ): $p=2.3575$

Obwohl sie nicht gleich sind, sind sie in ihrer Form ziemlich gleich.

Glen_b -Reinstate Monica
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Ich wollte mich nur bedanken. Es ist interessant zu erfahren, dass es zwar unmöglich ist, eine genaue Übereinstimmung zu erhalten, wir uns jedoch durch Annäherung so nahe kommen können.

Tim

Der Wert von sollte keine Überraschung sein, da eine Annäherung der Taylorreihen dritter Ordnung an den Kosinus Punkte nahe legt .

3.38 \dots

$3.38\ldots$

a = π^{2} / 4 + 1 = 3.46 \dots

$a=\pi^2/4+1=3.46\ldots$

whuber