Verwenden Sie für den Hypothesentest, dass weil die Konvergenzrate schneller ist?

Angenommen, ich habe sind iid und ich möchte einen Hypothesentest durchführen, bei dem 0 ist. Angenommen, ich habe ein großes n und kann den zentralen Grenzwertsatz verwenden. Ich könnte auch einen Test machen, bei dem 0 ist, was gleichbedeutend ist mit dem Test, dass 0 ist. Außerdem konvergiert gegen ein Chi-Quadrat, wobei konvergiert zu einer Normalen. Da eine schnellere Konvergenzrate hat, sollte ich diese nicht für die Teststatistik verwenden und damit eine schnellere Konvergenzrate erhalten und der Test effizienter sein? $X_1,\ldots,X_n$ $\mu$ $\mu^2$ $\mu$ $n(\bar{X}^2 - 0)$ $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ $\bar{X}^2$

Ich weiß, dass diese Logik falsch ist, aber ich habe lange nachgedacht und gesucht und kann nicht herausfinden, warum.

hypothesis-testing convergence delta-method Xu Wang
quelle

Es ist nicht klar, was Sie fragen. Können Sie erklären, in welchem Sinne die Konvergenzrate von "schneller" ist als die von ? Wie messen Sie die Rate? Welche Teststatistik verwenden Sie in den beiden Tests? Natürlich können diese Entscheidungen einen Unterschied machen.

{\bar{X}}^{2}

$\bar X^2$

\bar{X}

$\bar X$

Whuber

@whuber danke für Fragen. Ich behaupte "schnellere Rate", weil n größer als die Quadratwurzel von n ist. Ist diese Intuition falsch? Ich denke an die Teststatistik X-Bar oder X-Bar im Quadrat.

Xu Wang

Ich denke, Sie konzentrieren sich auf das Falsche. Diese Rate gibt an, wie schnell sich die Stichprobenverteilung dem Grenzwert nähert - entweder Standard Normal oder

. Da

groß ist, macht sein Wert keinen praktischen Unterschied - es ist irrelevant. Das Problem betrifft die Leistung jedes Tests und nicht, wie gut die Teststatistik an die Grenzverteilung angenähert ist.

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

n

$n$

whuber

@whuber danke für diese Details. Ich habe über sie nachgedacht, aber immer noch nicht verstanden. Wird die ungefähre Varianz von X-Balken ^ 2 schließlich kleiner sein als die ungefähre Varianz von X-Balken? Und ist das nicht ein Ergebnis von X-Bar ^ 2 mit einer höheren Konvergenzrate als X-Bar? Es tut mir leid, dass ich meine grundlegenden Missverständnisse nicht gesehen habe. Ich weiß, dass ich etwas Großes vermisse und hoffe, dieses Denken zu korrigieren.

Xu Wang

Es spielt keine Rolle, ob die ungefähre Varianz größer oder kleiner ist, denn es kommt auf die Verteilung der Statistik an. Betrachten Sie dazu einen t-Test für

mit

. Die Statistik

immer die 100-fache Abweichung von

, aber die Normalisierung führt zu beiden tatsächlichen Teststatistiken, die

. Denken Sie in Ihrem Fall daran, dass Sie ein

quadrieren

μ = 0

$\mu = 0$

x \sim N (0, 1)

$x \sim N(0,1)$

y \sim N (0, 10)

$y \sim N(0,10)$

\bar{y}

$\bar{y}$

\bar{x}

$\bar{x}$

t (n - 1)

$t(n-1)$

variate ergibt

variate. Im Grenzfall bedeutet diese Transformation, dass die beiden Tests in Bezug auf ihre Leistung bei einem bestimmten Niveau identisch sind.

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2}

$\chi^2$

Bogenschütze

Verwenden Sie für den Hypothesentest, dass weil die Konvergenzrate schneller ist?

Antworten: