Ich stehe vor einer posterioren Verteilung in einer MCMC- Anwendung, die darauf abzielt, eine nicht beobachtbare Variable bei einer beobachteten Reihe y = \ {y_t \} ^ T_ {t = abzutasten 0} .$x=\{x_t\}_{t=0}^{T}$$y=\{y_t\}^T_{t=0}$

Die bedingten Posterioren lauten jedoch

$$p(x_t | y_{t+1}, y_t, y_{t-1} ,x_{t-1}, x_{t+1}, \Theta),$$ wobei $\Theta$ a ist Vektor zusätzlicher Strukturparameter. Nach meinem Verständnis wäre dies ein Glättungsproblem, da die Kenntnis von $y_{t+1}$ erforderlich ist, um auf den Wert von $x_t$ .

Die Artikel, die sich mit demselben Problem befassen, beziehen sich jedoch auf die Reihe $x$ als gefilterte Reihe.

Vermisse ich hier etwas?

Ich denke, Definitionen könnten unterschiedlich sein, aber die Standarddefinitionen, die ich verwende, sind

• Filterung:$p(x_t|y_1,\ldots,y_t,\Theta)$
• Glättung: für$p(x_t|y_1,\ldots,y_T,\Theta)$$0\le t<T$

Das heißt, Filtern ist die Verteilung des aktuellen Zustands bei allen Beobachtungen bis einschließlich der aktuellen Zeit, während Glätten die Verteilung eines vergangenen Zustands (oder von Zuständen) bei gegebenen Daten bis zur aktuellen Zeit ist.

Für mich bezieht sich weder Filtern noch Glätten auf . Ich vermute auch, dass Sie wirklich die die vollständige bedingte Verteilung für die einige als bedingten posterioren Bereich bezeichnen.$p(x_t|y_{t+1},y_t,y_{t-1},\Theta)$

$$p(x_t|x_{t+1},y_t,x_{t-1},\Theta) = p(x_t|y_1,\ldots,y_T,x_1,\ldots,x_{t-1},x_{t+1},\ldots,x_T,\theta)$$ $x_t$

Originalmodell, das Sie in den Kommentaren zur anderen Antwort erwähnt haben: mit . Die Referenz, auf die Sie verlinkt haben, ist auch am Ende verlinkt.

$$Y_{t+1} = Y_t + \mu \Delta + \sqrt{v_t \Delta} \epsilon_{t+1}^y + \xi_{t+1}^y N_{t+1}^y \\ v_{t+1} = v_t + \kappa(\theta - v_t)\Delta + \sigma_v \sqrt{v_t\Delta}\epsilon_{t+1}^v$$ $\text{corr}(\epsilon_{t+1}^y,\epsilon_{t+1}^v) = \rho$

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Nennen wir und mit und unabhängigen Standardnormalen. Wir machen die Substitutionen, die wir bekommen$\epsilon_{t+1}^y = e^1_{t+1}$$\epsilon_{t+1}^v = \rho e^1_{t+1} + \sqrt{(1-\rho^2)}e^2_{t+1}$$e^1_{t+1}$$e^2_{t+1}$

$$Y_{t+1} - Y_t = \mu \Delta + \sqrt{v_t \Delta} e^1_{t+1} + \xi_{t+1}^y N_{t+1}^y \\ v_{t+1} = v_t + \kappa(\theta - v_t)\Delta + \sigma_v \sqrt{v_t\Delta}\left[\rho e^1_{t+1} + \sqrt{(1-\rho^2)}e^2_{t+1} \right]$$

Dann sei und . Sie sagen, um diese Transformation auf Seite 33 durchzuführen.$\phi = \sigma_v \rho$$w_v = \sigma^2_v(1-\rho^2)$

$$Y_{t+1} - Y_t = \mu \Delta + \sqrt{v_t \Delta} e^1_{t+1} + \xi_{t+1}^y N_{t+1}^y \\ v_{t+1} = v_t + \kappa(\theta - v_t)\Delta + \phi\sqrt{v_t\Delta} e^1_{t+1} + \sqrt{v_t\Delta}\sqrt{w_v}e^2_{t+1}$$

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Sie erwähnen, dass . Nach der Transformation ist es für uns jetzt tatsächlich . Sie beschreiben auch Posterioren für Folgendes (und diese müssen irgendwann Teil des Zustandsvektors sein): , .$\Theta = \{\mu, \kappa, \theta, \sigma_v, \rho, \lambda_y, \mu_y, \sigma_y\}$$\Theta = \{\mu, \kappa, \theta, \phi, w_v, \lambda_y, \mu_y, \sigma_y\}$$\xi^y_{t+1}$ $N_{t+1}^y$$v_{t+1}$

Wir könnten also den Zustandsvektor und dies würde ein Zustandsraummodell darstellen, das näher an was liegt Die andere Antwort sprach davon. Aber es gibt wahrscheinlich viele Möglichkeiten, dies zu tun. Im Moment kann ich nicht sagen, ob dieses Papier es so macht.

$$x_t = [v_{t+1}, v_t, \xi^y_{t+1} N_{t+1}^y]',$$

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Wie auch immer, zurück zu Ihrer Frage ... Ich bin mir nicht sicher, warum Sie alles neu etikettiert haben, weil es viel schwieriger ist, mitzumachen, aber Sie sagten in dem Kommentar, dass Sie versuchen, an den bedingten hinteren Teil von . ' Wenn Sie meinen , dann ist dies ein Rand der Glättungsverteilung dass die andere Antwort darüber sprach.$v_{t+1}$$p(v_{t+1}|y_{1:T}, \Theta)$$p(x_{t+1}|y_{1:T}, \Theta)$

Wenn Sie andererseits versuchen, aus zu probieren, dann was auch in der anderen Antwort erwähnt wurde. Ich denke, dies wird als "Single-Site-Sampler" bezeichnet, vielleicht nützlich, wenn Sie den Gibbs-Stil möchten. Ich vermute, dass Sie das eigentlich wollen. Sie würden dies erhalten, wenn Sie den Zustandsvektor in Teil 2 verwenden und das Protokoll als Beobachtungen zurückgeben.$p(x_{t}|y_{1:T},x_{1:t-1},x_{t+1:T})$

$$\begin{align*} p(x_{t}|y_{1:T},x_{1:t-1},x_{t+1:T}) &\propto \prod_{t=2}^T p(y_t|x_t)p(x_t|x_{t-1})p(y_1|x_1)p(x_1) \\ &\propto p(x_t|x_{t-1})p(y_t|x_t)p(x_{t+1}|x_t) \\ &\propto p(x_t|x_{t-1},x_{t+1},y_t) \end{align*}$$ $p(x_{1:T}|y_{1:T},\Theta)$$Y_{t+1} -Y_t$

Ich wiederhole also die andere Antwort hier: Es ist wahrscheinlich eines dieser beiden Dinge. Hoffe das hilft.

Referenz: http://lib.dr.iastate.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1121&context=stat_las_preprints