Warum sind natürliche Protokolländerungen prozentuale Änderungen? Was ist mit Protokollen, die das so machen?

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Kann jemand erklären, wie die Eigenschaften von Protokollen dies bewirken, damit Sie lineare Regressionen protokollieren können, bei denen die Koeffizienten als prozentuale Änderungen interpretiert werden?

regression logarithm mathematical-statistics thewhitetie
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l o g (y_{t}) - l o g (y_{t - 1}) = l o g (y_{t} / y_{t - 1})

$log(y_t) -log(y_{t-1})=log(y_t/y_{t-1})$ , und ist 1 plus die prozentuale Änderung.

y_{t} / y_{t - 1}

$y_t/y_{t-1}$

Wenn wir die Gleichung relativ zu X1 differenzieren, sind wir auf dem richtigen Weg, die Frage besser zu beantworten, als wenn wir Reihenausdrücke berücksichtigen.

Charles

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Für und nahe beieinander liegen, approximiert die prozentuale Änderung die Protokolldifferenz . $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ $\log x_2 - \log x_1$

Warum approximiert die prozentuale Änderung die Log-Differenz?

Eine Idee aus der Analysis ist, dass Sie eine glatte Funktion mit einer Linie approximieren können. Die lineare Approximation ist einfach die ersten beiden Terme einer Taylor-Reihe . Die Taylor-Expansion erster Ordnung von um ist gegeben durch: $\log(x)$ $x=1$

\log (x) \approx \log (1) + \frac{d}{d x} {\log (x) |}_{x = 1} (x - 1)

$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$ Die rechte Seite vereinfacht sich zu daher:

0 + \frac{1}{1} (x - 1)

$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$

\log (x) \approx x - 1

$\log(x) \approx x-1$

Also können wir für in der Nähe von 1 mit der Linie approximieren. Unten ist ein Graph von und . $x$ $\log(x)$ $y = x - 1$ $y = \log(x)$ $y = x - 1$

Beispiel: . $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

Betrachten Sie nun zwei Variablen und so, dass . Dann ist die Protokolldifferenz ungefähr die prozentuale Änderung : $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$ $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

\log x_{2} - \log x_{1} = \log (\frac{x_{2}}{x_{1}}) \approx \frac{x_{2}}{x_{1}} - 1

$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$

Die prozentuale Änderung ist eine lineare Annäherung an die logarithmische Differenz!

Warum Unterschiede protokollieren?

Wenn Sie an die Berechnung von prozentualen Änderungen denken, besteht das mathematisch saubere Konzept häufig darin, logarithmische Unterschiede zu berücksichtigen. Wenn Sie Begriffe wiederholt miteinander multiplizieren, ist es häufig bequemer, in Protokollen zu arbeiten und stattdessen Begriffe zusammenzufügen.

Nehmen wir an, unser Vermögen zum Zeitpunkt ist gegeben durch: Dann könnte es bequemer sein zu schreiben: Dabei ist . $T$

W_{T} = \prod_{t = 1}^{T} (1 + R_{t})

$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$

\log W_{T} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t}

$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$

r_{t} = \log (1 + R_{t}) = \log W_{t} - \log W_{t - 1}

$r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

Wo sind prozentuale Änderungen und der Protokollunterschied NICHT gleich?

Bei großen prozentualen Änderungen entspricht die logarithmische Differenz nicht der prozentualen Änderung, da die Approximation der Kurve mit der Linie immer schlechter wird, je weiter Sie von . Zum Beispiel: $y = \log(x)$ $y = x - 1$ $x=1$

\log (1.6) - \log (1) = .47 \neq 1.6 - 1

$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$

Was ist der log Unterschied in diesem Fall?

Eine Möglichkeit ist, dass eine Differenz von 0,47 Logs einer Akkumulation von 47 unterschiedlichen 0,01 Log-Differenzen entspricht.

\begin{aligned} \log (1.6) - \log (1) & = 47 (.01) \\ \approx 47 (\log (1.01)) \end{aligned}

$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$

Dann potenziere beide Seiten, um zu erhalten:

1.6 \approx {1.01}^{47}

$1.6 \approx 1.01 ^{47}$

Ein logarithmischer Unterschied von 0,47 entspricht ungefähr 47 verschiedenen Erhöhungen von 1%, oder noch besser 470 verschiedenen Erhöhungen von 0,1%, alles, was usw. zusammengesetzt ist.

Mehrere der hier gegebenen Antworten verdeutlichen diese Idee.

Matthew Gunn
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+1, in der Hoffnung, dass die geplante Fortsetzung dieser Antwort Bedingungen bespricht, bei denen die Annäherung zusammenbricht.

Whuber

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+1. Um einen kleinen Punkt hinzuzufügen: 1,6 zu 1 bedeutet eine Abnahme um 37,5%, 1 zu 1,6 bedeutet eine Zunahme um 60%, die logarithmische Differenz von 0,47 ist unabhängig von der Änderungsrichtung und liegt immer zwischen 0,375 und 0,6. Wenn wir die Richtung der Änderung nicht kennen oder sich nicht darum kümmern, kann die Protokolldifferenz eine Alternative sein, um den Durchschnitt der zwei Prozentänderungen zu ermitteln, selbst wenn die prozentuale Änderung groß ist.

Paul

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Hier ist eine Version für Dummies ...

Wir haben das Modell - eine einfache gerade Linie durch die Datenwolke - und wir wissen , dass , wenn wir die Koeffizienten schätzen, eine Erhöhung des vorherigen Wert von werden führen zu einer Zunahme von in dem Wert von aus , als . Tatsächlich können die Einheiten jedoch in absoluten Werten bedeutungslos sein. $Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ $1\text{-unit}$ $X=x_1$ $\hat \beta_1$ $Y$ $Y=y_1$ $\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

Wir können also stattdessen das Modell in (brandneue Koeffizienten) . Jetzt haben wir für die gleiche Einheitenerhöhung in eine Änderung $\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ $\hat\delta_1$

\begin{matrix} (*) & \ln (y_{2}) - \ln (y_{1}) = \ln (\frac{y_{2}}{y_{1}}) = {\hat{δ}}_{1} (x_{1} + 1) - {\hat{δ}}_{1} x_{1} = {\hat{δ}}_{1} \end{matrix}

$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$

Um die Auswirkungen auf die prozentuale Änderung zu sehen, können wir potenzieren : $(*)$

\begin{matrix} (**) & \exp ({\hat{δ}}_{1}) = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{y_{1} + y_{2} - y_{1}}{y_{1}} = 1 + \frac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}} \end{matrix}

$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ ist die relative Änderung und von , die prozentuale Veränderung. $(**)$ $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

Der Schlüssel zur Beantwortung der Frage ist zu sehen, dass für kleine Werte von , was der gleichen Verwendung der ersten beiden Terme der Taylor-Erweiterung entspricht, die Matthew verwendet, aber dieses Mal von ( Maclaurin-Reihe ) bei Null ausgewertet, weil wir mit Exponenten arbeiten, im Gegensatz zu Logarithmen: $\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ $\hat\delta_1$ $e^x$

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

oder mit als Variable: $\delta_1$ $x$

\exp ({\hat{δ}}_{1}) = 1 + {\hat{δ}}_{1}

$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$

Also ist um Null (wir haben die Polynomausdehnung bei Null ausgewertet, als wir die Taylor-Reihe durchgeführt haben). Visuell, $\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

Antoni Parellada
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Ihre Antwort ist ganz klar: Wir brauchen kleine Koeffizienten, um die logarithmische Differenz als prozentuale Änderung interpretieren zu können, aber die Antwort von @aksakal zeigt, dass wir nur kleine Änderungen benötigen (dh lim Δx --> 0). Können Sie bitte erklären, wie die beiden gleichwertig sind?

towi_parallelism

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Angenommen, Sie haben ein Modell Nehmen Sie eine Ableitung eines Protokolls:

\ln y = A + B x

$\ln y = A+B x$

\frac{d}{d x} \ln y \equiv \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = B

$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$

Nun können Sie sehen, dass die Steigung nun eine Steigung der relativen Änderung von : $b$ $y$

\frac{d y}{y} = B d x

$\frac{dy}{y}=B dx$

Wenn Sie die log-Transformation nicht hätten, würden Sie eine Steigung der absoluten Änderung von : $y$

d y = B d x

$dy=B dx$

Ich habe durch , um zu betonen, dass dies für kleine Änderungen funktioniert . $dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$

Aksakal
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Die vorliegenden Antworten enthalten viele gute Erklärungen, aber hier ist eine andere, die sich auf die finanzielle Analyse der Zinsabgrenzung für eine Erstinvestition bezieht. Angenommen, Sie haben einen anfänglichen Betrag von einer Einheit, der zu einem (nominalen) Zinssatz von pro Jahr verzinst wird, wobei der Zinssatz über Perioden im Jahr "zusammengerechnet" wird . Am Ende eines Jahres beträgt der Wert dieser Erstinvestition einer Einheit: $r$ $n$

I (n) = (1 + \frac{r}{n})^{n} .

$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$

Je öfter diese Zinsen "zusammengesetzt" werden, desto mehr Geld erhalten Sie für Ihre anfängliche Investition (da Zusammensetzen bedeutet, dass Sie Zinsen für Ihre Zinsen erhalten). Nimmt man das Limit als , erhält man "Continuous Compounding Interest", was ergibt: $n \rightarrow \infty$

I (\infty) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n} = \exp (r) .

$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$

Logarithmen von beiden Seiten zu nehmen, ergibt , was bedeutet, dass der Logarithmus des Verhältnisses der Endinvestition zur Anfangsinvestition der kontinuierlich zinsverbreiternde Zinssatz ist. Aus diesem Ergebnis können wir ersehen, dass logarithmische Unterschiede in den Zeitreihenergebnissen als stetig steigende Änderungsraten interpretiert werden können . (Diese Interpretation ist auch durch die Antwort von aksakal gerechtfertigt , aber die vorliegende Arbeit gibt Ihnen eine andere Sichtweise.) $r = \ln I(\infty)$

Setzen Sie Monica wieder ein
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Warum sind natürliche Protokolländerungen prozentuale Änderungen? Was ist mit Protokollen, die das so machen?

Antworten:

Warum approximiert die prozentuale Änderung die Log-Differenz?

Warum Unterschiede protokollieren?

Wo sind prozentuale Änderungen und der Protokollunterschied NICHT gleich?