Ist jede nichtstationäre Serie durch Differenzierung auf eine stationäre Serie umrüstbar?

Kann jede nicht stationäre Zeitreihe durch Differenzierung in eine stationäre Zeitreihe umgewandelt werden? Wie bestimmen Sie außerdem die Reihenfolge der anzuwendenden Differenzierung?

Unterscheiden Sie sich nur mit den Intervallen 1,2 ... n und führen Sie jedes Mal einen Einheitswurzeltest für stationär durch, um festzustellen, ob die resultierende Reihe stationär ist?

time-series stationarity Sieger
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Antworten:

Nein. Als Gegenbeispiel sei eine beliebige Zufallsvariable und die Zeitreihe habe zum Zeitpunkt den Wert . Die Differenz zum Zeitpunkt ist eine Linearkombination $X$ $\exp(t X)$ $t$ $k^\text{th}$ $i=0, 1, 2, \ldots$

Δ^{k} (i) = \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp ((i + j) X) = \exp (i X) \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp (j X) = \exp (i X) Δ^{k} (0) .

$\Delta^k(i) = \sum_{j=0}^k w_j \exp((i+j)X) = \exp(iX) \sum_{j=0}^k w_j \exp(jX) = \exp(iX) \Delta^k(0).$

für Koeffizienten (die berechnet werden können, deren Werte jedoch für diese Diskussion irrelevant sind). Sofern nicht konstant ist, weisen die linke und die rechte Seite unterschiedliche Verteilungen auf, was beweist, dass der Unterschied nicht stationär ist. Daher macht keine Differenzierung diese Zeitreihe stationär. $w_j$ $X$ $k^\text{th}$

whuber
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Woher wissen Sie bei einer gegebenen Zeitreihe (linear), ob eine Differenzierung zu einer stationären Reihe jemals möglich ist?

Victor

Bitte erläutern Sie, was Sie unter einer "linearen" Zeitreihe verstehen. Im Allgemeinen läuft das Anpassen eines AR-Modells darauf hinaus, das Ausmaß der Differenzierung abzuschätzen, die erforderlich ist, um die Reihe stationär zu machen.

Whuber

Danke ... lass mich darüber nachdenken. Ich weiß nicht, wie viel ich nicht weiß

Victor

Dies scheint eine Folge der Tatsache zu sein, dass die Exponentialfunktion ihre eigene Ableitung ist, und dies legt für mich unmittelbar nahe, dass eine Zeitreihe durch wiederholtes Differenzieren nur dann stationär gemacht werden kann, wenn die von ihr modellierte "wahre" Funktion ein Polynom ist ( oder äquivalent dazu ist die Erweiterung der Taylor-Reihe endlich).

zwol

@zwol Das ist eine gute Einsicht - und deshalb kam mir zuerst das exponentielle Gegenbeispiel in den Sinn - aber es ist nur ein Teil der Geschichte. Wenn die Erwartung eine Polynomfunktion der Zeit ist, macht eine ausreichende Differenzierung die Zeitreihen erster Ordnung stationär , dh die ersten Momente der Verteilungen sind über die Zeit unveränderlich. Die Differenzierung macht jedoch nicht notwendigerweise höhere Momente oder multivariate Momente stationär.

Whuber

Die Antwort von whuber ist richtig; Es gibt viele Zeitreihen, die durch Differenzierung nicht stationär gemacht werden können. Ungeachtet dessen, dass dies Ihre Frage im engeren Sinne beantwortet, ist es möglicherweise auch erwähnenswert, dass innerhalb der breiten Klasse von ARIMA-Modellen mit weißem Rauschen Unterschiede zu ARMA-Modellen werden können und letztere (asymptotisch) stationär sind, wenn die verbleibenden Wurzeln von Die auto-regressiven charakteristischen Polynome befinden sich innerhalb des Einheitskreises. Wenn Sie für die beobachtbare Reihe eine geeignete Startverteilung angeben, die der stationären Verteilung entspricht, erhalten Sie einen streng stationären Zeitreihenprozess .

In der Regel ist also nicht jede Zeitreihe durch Differenzierung in eine stationäre umwandelbar. Wenn Sie jedoch Ihren Geltungsbereich auf die breite Klasse von Zeitreihenmodellen in der ARIMA-Klasse mit weißem Rauschen und entsprechend angegebener Startverteilung (und anderen AR-Wurzeln innerhalb des Einheitskreises) beschränken, kann durch Differenzierung Stationarität erzielt werden.

Setzen Sie Monica wieder ein
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+1 Für einige (viele?) Anwendungen ist dies eine nützlichere Antwort als die rein theoretische, die ich angeboten habe.

whuber

Ja - ich denke manchmal ist es eine Frage von "Hier ist die Antwort auf Ihre Frage, und jetzt ist hier die Antwort auf eine andere Frage, die Sie auch hätten stellen sollen."

Setzen Sie Monica am