Kann jemand ein Beispiel für eine unimodale Verteilung anbieten, die eine Neigung von Null hat, aber nicht symmetrisch ist?

Im Mai 2010 Wikipedia Benutzer hinzugefügt Mcorazao einen Satz zu dem Schiefe Artikel , dass „Ein Wert von Null zeigt an, dass die Werte relativ gleichmäßig auf beiden Seiten der mittleren verteilt, in der Regel , aber nicht notwendigerweise eine symmetrische Verteilung impliziert.“ Die Wiki-Seite enthält jedoch keine tatsächlichen Beispiele für Distributionen, die gegen diese Regel verstoßen. Googeln "Beispiel asymmetrische Verteilungen mit Null-Schiefe" gibt auch keine wirklichen Beispiele, zumindest in den ersten 20 Ergebnissen.

Unter Verwendung der Definition, dass der Versatz aus und dem R berechnet wird Formel$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$

sum((x-mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)

Ich kann eine kleine, willkürliche Verteilung konstruieren, um die Schiefe niedrig zu halten. Zum Beispiel die Verteilung

x = c(1, 3.122, 5, 4, 1.1) 

ergibt einen von . Dies ist jedoch eine kleine Stichprobe, und außerdem ist die Abweichung von der Symmetrie nicht groß. Ist es also möglich, eine größere Verteilung mit einem Peak zu konstruieren, der stark asymmetrisch ist, aber immer noch eine Schiefe von nahezu Null aufweist?$-5.64947\cdot10^{-5}$

Betrachten Sie diskrete Verteilungen. Eine, die auf Werten x 1 , x 2 , … , x k unterstützt wird, wird durch nicht negative Wahrscheinlichkeiten p 1 , p 2 , … , p k unter der Bedingung bestimmt, dass (a) sie sich zu 1 und (b) addieren. Der Skewness-Koeffizient ist gleich 0 (was dem dritten zentralen Moment entspricht, das Null ist). Damit bleiben k - 2 Freiheitsgrade (im gleichungslösenden Sinne, nicht im statistischen!). Wir können hoffen, Lösungen zu finden, die unimodal sind.$k$$x_1, x_2,\ldots, x_k$$p_1, p_2,\ldots, p_k$$k-2$

Um die Suche nach Beispielen zu vereinfachen, habe ich nach Lösungen gesucht, die auf einem kleinen symmetrischen Vektor mit einem eindeutigen Modus bei 0 , Mittelwert Null und Versatz Null basieren . Eine solche Lösung ist ( p 1 , ... , p 7 ) = ( 1396 , 3286 , 9586 , 47386 , 8781 , 3930 $\mathbf{x}=(-3,-2,-1,0,1,2,3)$$0$ .$(p_1, \ldots, p_7) = (1396, 3286, 9586, 47386, 8781, 3930, 1235)/75600$

Sie können sehen, dass es asymmetrisch ist.

Hier ist eine offensichtlich asymmetrische Lösung mit (was asymmetrisch ist) und p = ( 1 , 18 , 72 , 13 , 4 ) / 108 :$\mathbf{x} = (-3,-1,0,1,2)$$p = (1,18, 72, 13, 4)/108$

Jetzt ist klar, was los ist: Weil der Mittelwert gleich , tragen die negativen Werte ( - 3 ) 3 = - 27 und 18 × ( - 1 ) 3 = - 18 zum dritten Moment bei, während die positiven Werte 4 × 2 3 = beitragen 32 und 13 × 1 3 = 13 , wobei die negativen Beiträge exakt ausgeglichen werden. Wir können eine symmetrische Verteilung um 0 annehmen , wie z. B. x$0$$(-3)^3=-27$$18 \times (-1)^3=-18$$4\times 2^3 = 32$$13 \times 1^3 = 13$$0$ mit p = ( 1 , 4 , 1 ) / 6 , und verschieben Sie eine kleine Masse von + 1 nach + 2 , eine kleine Masse von + 1 nach - 1 und eine kleine Menge Masse bis zu - 3 , wobei der Mittelwert bei 0 und die Schiefe bei 0 bleiben$\mathbf{x}=(-1,0,1)$$\mathbf{p}=(1,4,1)/6$$+1$$+2$$+1$$-1$$-3$$0$$0$ebenso, während eine Asymmetrie erzeugt wird. Der gleiche Ansatz funktioniert, um den Mittelwert Null und die Schiefe Null einer kontinuierlichen Verteilung beizubehalten und sie gleichzeitig asymmetrisch zu machen. Wenn wir die Massenverschiebung nicht zu aggressiv angehen, bleibt sie unimodal.

Bearbeiten: Kontinuierliche Verteilungen

Da das Problem immer wieder auftaucht, geben wir ein explizites Beispiel für kontinuierliche Verteilungen. Peter Flom hatte eine gute Idee: Schauen Sie sich Mischungen von Normalen an. Eine Mischung aus zwei Normalen reicht nicht aus: Wenn ihre Schiefe verschwindet, ist sie symmetrisch. Der nächst einfachste Fall ist eine Mischung aus drei Normalen.

Gemische von drei Normalen hängen nach einer geeigneten Wahl von Ort und Maßstab von sechs realen Parametern ab und sollten daher mehr als ausreichend flexibel sein, um eine asymmetrische Lösung ohne Versatz zu erzeugen. Um einige zu finden, müssen wir wissen, wie man Schiefen von Normalenmischungen berechnet. Unter diesen werden wir nach unimodalen suchen (es ist möglich, dass es keine gibt).

Nun ist im Allgemeinen das (nicht-zentrale) Moment einer Standardnormalverteilung Null, wenn r ungerade ist und ansonsten gleich 2 r / 2 Γ ( 1 - $r^\text{th}$$r$ . Wenn wir diese Standardnormalverteilung neu skalieren, um eine Standardabweichung vonσ zu erhalten, wird dasr-teMoment mitσrmultipliziert. Wenn wir eine Verteilung umμ verschieben, kann das neuer-teMoment in Momenten bis einschließlichrausgedrückt werden. Der Moment einer Mischung von Verteilungen (dh ein gewichteter Durchschnitt von ihnen) ist der gleiche gewichtete Durchschnitt der einzelnen Momente. Schließlich ist die Schiefe genau dann Null, wenn das dritte zentrale Moment Null ist, und dies kann leicht anhand der ersten drei Momente berechnet werden.$2^{r/2}\Gamma\left(\frac{1-r}{2}\right)/\sqrt{\pi}$$\sigma$$r^\text{th}$$\sigma^r$$\mu$$r^\text{th}$$r$

Dies gibt uns einen algebraischen Angriff auf das Problem. Eine Lösung , die ich gefunden ist eine gleiche Mischung von drei Normalen mit Parametern gleich zu ( 0 , 1 ) , ( 1 / 2 , 1 ) und ( 0 , $(\mu, \sigma)$$(0,1)$$(1/2,1)$. Seine mittlere equals(0+1/2+0)/3=1/6. Dieses Bild zeigt das PDF in blau und das PDF der Distributionumgedrehtin rot. Dass sie sich unterscheiden, zeigt, dass sie beide asymmetrisch sind. (Der Modus ist etwa0,0519216, ungleich dem Mittelwert von1/6.) Sie haben beide Null Schiefe durch Konstruktion.$(0, \sqrt{127/18}) \approx (0, 2.65623)$$(0 + 1/2 + 0)/3 = 1/6$$0.0519216$$1/6$

Die Darstellungen zeigen an, dass diese unimodal sind. (Mit Calculus können Sie lokale Maxima ermitteln.)

Hier ist eine, die ich unter https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html# gefunden habe und die ich schön finde und in R wiedergebe: an inverse Burr oder Dagumverteilung mit Formparametern und c = 18,1484 :$k=0.0629$$c=18.1484$

Es hat einen Mittelwert von 0,5387, eine Standardabweichung von 0,2907, eine Schiefe von 0,0000 und eine Kurtosis von 2,0000. Die Quelle nennt es auch die "Elefanten-Distribution":

Meine Reproduktion in R wurde mit erstellt

library(actuar)
library(knotR)

# a nonsymmetric distribution with zero skewness
# see https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#

c <- 18.1484
k <- 0.0629

x <- seq(0,1.5,by=.0001)

elephant.density <- dinvburr(x, k, c)
plot(x,elephant.density, type="l")
polygon(c(min(x),x),c(min(elephant.density),elephant.density), col="grey")
points(0.8,0.8, pch=19, cex=2)

# "ears" created via https://www.desmos.com/calculator/cahqdxeshd
ear.x <- c(0.686, 0.501, 0.42, 0.68)
ear.y <- c(0.698, 0.315, 1.095, 0.983)

myseg(bezier(cbind(ear.x, ear.y)), type="l")

EX <- gamma(k+1/c)*gamma(1-1/c)/gamma(k) # see p6 of https://wwz.unibas.ch/uploads/tx_x4epublication/23_07.pdf
EX2 <- gamma(k+2/c)*gamma(1-2/c)/gamma(k)
EX3 <- gamma(k+3/c)*gamma(1-3/c)/gamma(k)
(skewness <- (EX3 - 3*EX*(EX2-EX^2)-EX^3)/(EX2-EX^2)^(3/2)) # zero to three digits: 0.0003756196

Wie diese Ausgabe zeigt, ist die Schiefe für diese Parameterwerte nicht ganz null bis vierstellig. Hier ist ein kleiner Optimierer für und c :$k$$c$

   # optimize skewness a bit further
    skewval <- 1

while (skewval > 10^(-10)){
  optskew.k <- uniroot(skewness.fun, lower = k*.95, upper = k*1.1, tol=skewval^2, c=c)
  skewval <- optskew.k$f.root
  k <- optskew.k$root

  optskew.c <- uniroot(skewness.fun, lower = c*.95, upper = c*1.1, tol=skewval^2, k=k)
  skewval <- optskew.c$f.root
  c <- optskew.c$root
}

nachgebend

> print(c)
[1] 18.89306

> print(k)
[1] 0.05975542

> print(skewval)
[1] -1.131464e-15

Betrachten Sie eine Verteilung auf der positiven Hälfte der reellen Linie, die linear von 0 bis zum Modus ansteigt und dann rechts vom Modus exponentiell ist, im Modus jedoch stetig ist.

Dies könnte als Dreiecksexponentialverteilung bezeichnet werden (obwohl es oft ein bisschen wie eine Haifischflosse aussieht).

$\theta$$\lambda$

$\lambda\theta$$\lambda\theta$$\approx 6.15$

$^{[1]}$$^{[2]}$

Der Thread Nicht-Normalverteilungen mit Null-Schräglage und Null-Überschuss-Kurtosis? hat einige asymmetrische Beispiele, einschließlich eines kleinen diskreten Beispiels und eines weiteren kontinuierlichen unimodalen:

Diskrete unimodale Verteilungen - oder äquivalente Proben - mit einer Neigung von Null sind recht einfach zu konstruieren, von großer oder kleiner Größe.

Hier ist ein Beispiel, das Sie als Stichprobe oder (durch Teilen der Rohfrequenzen durch 3000) als pmf behandeln können (die 'x'-Werte sind die genommenen Werte, die' n'-Werte sind die Häufigkeit, mit der der Wert in der Stichprobe auftritt ):

x:  -2   -1    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
n: 496  498  562 1434    2    1    1    1    1    1    1    1    1

Dieses Beispiel setzt sich aus 3-Punkt-Verteilungen zusammen:

x:          -2              1                  c
n:   c(c-1)(c+1)/6     c(c-1)(c+1)/3 - c       1

über verschiedene Werte von $c$ zwischen 3 und 10. Diese parametriert (von $c$) 3-Punkt "Atom" hat $\sum_i n_ix_i =0$ und $\sum_i n_ix_i^3 =0$, was wiederum bedeutet, dass Mischungen über verschiedene Auswahlmöglichkeiten von $c$haben null schiefe. (Sie können nichts kleiner machen als eine Verteilung über drei Punkte mit Asymmetrie und dem dritten zentralen Moment Null. Eine Sammlung einfacher Teile über nur wenige Punkte, wie diese, bilden ordentliche Bausteine, aus denen größere Strukturen hergestellt werden können.)

Es gibt alle Arten solcher "Atome", die man konstruieren kann, aber in diesem Beispiel wird nur diese eine Art verwendet. Zu einer solchen Kombination von Atomen werden einige symmetrisch angeordnete Werte hinzugefügt, um die verbleibenden Löcher auszufüllen und die Unimodalität zu gewährleisten, ohne die Struktur des mittleren und dritten Moments zu zerstören.

$[1]$Brizzi, M. (2006),
"A Skewed Modell Kombination Triangular und Exponential Eigenschaften: Die Two-faced Verteilung und seine statistischen Eigenschaften"
Austrian Journal of Statistics , 35 : 4, p455-462
http: //www.stat.tugraz. at / AJS / ausg064 /

$[2]$von Hippel, PT (2005),
"Mean, Median, and Skew: Korrektur einer Schulbuchregel"
Journal of Statistics Education, Band 13, Nummer 2,
http://ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html

Sicher. Versuche dies:

skew= function (x, na.rm = FALSE) 
 {
    if (na.rm)    x <- x[!is.na(x)]             #remove missing values
    sum((x - mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)  #calculate skew   
 }

set.seed(12929883) 
x = c(rnorm(100, 1, .1), rnorm(100, 3.122, .1), rnorm(100,5, .1), rnorm(100, 4, .1), rnorm(100,1.1, .1))

 skew(x)
 plot(density(x))

(Du hast das harte Zeug schon gemacht!)

Für null Versatz brauchen wir

Wählen Sie nun für den gegebenen Mittelwert und die Varianz zwei beliebige Verteilungen aus $Y$ und $Z$ mit Nullmasse auf der rechten Seite von $\mu$ und

Die resultierende Verteilung ist unimodal, wenn die PDFs von $Y$ und $Z$ nehmen links von zu $\mu$ (zusätzlich zur Null rechts von $\mu$).

Die folgende diskrete Verteilung ist asymmetrisch und weist eine Neigung von Null auf: Prob (-4) = 1/3, Prob (1) = 1/2, Prob (5) = 1/6. Ich fand es in der Veröffentlichung von Doric et al., Qual Quant (2009) 43: 481–493; DOI 10.1007 / s11135-007-9128-9