Was ist eine stationäre Zeitreihe? Was sind einige Beispiele?

In meiner ökonometrischen Klasse definierte mein Lehrer eine stationäre Zeitreihe folgendermaßen: "Eine Zeitreihe ist lose gesagt stationär, wenn sich ihre stochasitischen Eigenschaften und ihre zeitliche Abhängigkeitsstruktur im Laufe der Zeit nicht ändern." Ich bin verwirrt, was einige Beispiele wären. Wäre die Temperatur im Laufe der Jahre stationär, vorausgesetzt, es gibt keinen Trend? Bedeutet Stationarität, dass die einzige Bewegung in den Daten auf zufälliges weißes Rauschen zurückzuführen ist? Was sind einige Beispiele? Beispiele fehlen mir.

Vielleicht hilft ein einfaches Beispiel aus dem Finanzbereich der Intuition. Lassen$R_t$ der Zinssatz für den Zeitraum sein $t$ (Beachten Sie, dass dies eine Zufallsvariable ist).

Zahlreiche Zinsmodelle (z. B. Vasicek oder Cox-Ingersoll-Ross ) implizieren, dass der Zinssatz ein stationärer Prozess ist. Wenn Sie den Zinssatz verdienen$R_t$ jede Periode und beginnen mit $V_0$ Dollar, dann die Menge der Dollar, die Sie zur Zeit haben $t$ ist gegeben durch:

Der Prozess $\left\{ V_t \right\}$ist NICHT stationär. Es gibt keinen bedingungslosen Mittelwert oder Varianz.

Weitere Beispiele aus Wirtschaft und Finanzen:

• Lassen $Y_t$ die Gesamtproduktion (dh das BIP) der Wirtschaft zum Zeitpunkt sein $t$.

  • $y_t = \log(Y_t)$ ist mit ziemlicher Sicherheit kein stationärer Prozess.
  • Das Wachstum der Log-Ausgabe (dh $y_t - y_{t-1}$) wird typischerweise als stationärer Prozess behandelt

• Lassen $S_t$ der Preis des gesamten Marktportfolios sein.

  • $s_t = \log(S_t)$ ist mit ziemlicher Sicherheit kein stationärer Prozess.
  • Das Protokoll kehrt zurück $r_t = s_t - s_{t-1}$ des Marktportfolios wird typischerweise als stationärer Prozess behandelt.

Ein zufälliger Spaziergang oder ein Wiener-Prozess (die kontinuierliche Zeit analog zu einem zufälligen Spaziergang) sind kanonische Beispiele für instationäre Prozesse. Andererseits sind Inkremente eines zufälligen Spaziergangs oder eines Wiener-Prozesses stationäre Prozesse.

Temperatur

Wie @kjetil betont, ist die Temperatur kein stationärer Prozess. Beispielsweise ist die Verteilung über die Temperaturen im Januar nicht dieselbe wie die Verteilung über die Temperaturen im Juni. Die gemeinsame Verteilung ändert sich bei zeitlicher Verschiebung.

Auf der anderen Seite lassen $\mathbf{y}_t$ sei ein 12 mal 1 Vektor für das Jahr $t$wobei jeder Eintrag des Vektors die Durchschnittstemperatur für einen Monat angibt. Vielleicht können Sie das argumentieren$\mathbf{y}_t$ ist ein stationärer Prozess.

- Update Wie @ bright-star in den Kommentaren hervorhebt , ist dies die Grundidee der Cyclostationarität . Die Temperatur an einem bestimmten Tag als$t$ variiert über Jahre kann ein stationärer Prozess sein.

Sonnenflecken

Eines der ersten Zeitreihenmodelle wurde von Yule und Walker entwickelt , um den 11-jährigen Sonnenfleckenzyklus zu modellieren.

Lassen $y_t$ sei die Anzahl der Sonnenflecken im Jahr $t$. Sie modellierten die Anzahl der Sonnenflecken pro Jahr als stationären Prozess unter Verwendung des AR (2) -Modells :

Ein stationärer Prozess kann Muster, Zyklen usw. haben.

Beachten Sie die beiden gängigen Definitionen von Stationarität.

Etwas locker:

• Ein Prozess ist streng stationär, wenn die gemeinsame Verteilung zeitinvariant ist.
• Ein Prozess ist eine stationäre Kovarianz, wenn die bedingungslose Erwartung und die Autokovarianz existieren und sich nicht über die Zeit ändern.

(Vielleicht eine obskure technische Bemerkung, aber strenge Stationarität impliziert keine Kovarianzstationarität, und Kovarianzstationarität impliziert keine strenge Stationarität.)

Die Verteilung eines stationären Prozesses ändert sich im Laufe der Zeit nicht. Ein intuitives Beispiel: Sie werfen eine Münze. 50% Köpfe, unabhängig davon, ob Sie es heute oder morgen oder im nächsten Jahr drehen.

Ein komplexeres Beispiel: Nach der Hypothese eines effizienten Marktes sollten überschüssige Aktienrenditen immer um Null schwanken. Es gibt keinen Trend; Sobald sie Renditen vorhersagen können, nutzen Händler den Trend, bis er verschwindet. Egal, wann Sie Überschussrenditen beobachtet haben, es würde immer noch WN (0,$\sigma$).

Wie Sie sagten, würde es zufällig nach einem Prozess des weißen Rauschens variieren.