Wie sind die Verteilungen im positiven k-dimensionalen Quadranten mit parametrisierbarer Kovarianzmatrix?

12

Nach der Frage von zzk zu seinem Problem mit negativen Simulationen frage ich mich, welche Verteilungsfamilien für den positiven k-dimensionalen Quadranten parametrisiert sind, für den die Kovarianzmatrix kann.R+kΣ

Wie mit zzk besprochen, funktioniert das Anwenden der linearen Transformation ab einer Verteilung auf nicht.R+kXΣ1/2(Xμ)+μ

Xi'an
quelle

Antworten:

6

Angenommen, wir haben eine multivariate Normalzufallsvektor Mit & mgr; R k und k × k vollem Rang symmetrischepositiv definite Matrix Σ = ( σ i j ) .

(logX1,,logXk)N(μ,Σ),
μRkk×kΣ=(σij)

Für die lognormal , ist es nicht schwer , zu beweisen , dass m i : = E [ X i ] = e μ i + σ i i / 2(X1,,Xk)c i j : = Cov [ X i , X j ] = m i

mi:=E[Xi]=eμi+σii/2,i=1,,k,
cij:=Cov[Xi,Xj]=mimj(eσij1),i,j=1,,k,

und daraus folgt, dass .cij>mimj

Daher können wir die umgekehrte Frage stellen: Wenn und k × k symmetrische positive definite Matrix C = ( c i j ) gegeben sind, wird c i j > - m i m erfüllt j , wenn wir μ i = log m i - 1 lassenm=(m1,,mk)R+kk×kC=(cij)cij>mimjΣ i j = log ( c i j

μi=logmi12log(ciimi2+1),i=1,,k,
Werden wir einen lognormal Vektor mit den vorgeschriebenen Mittel und Kovarianzen haben.
σij=log(cijmimj+1),i,j=1,,k,

Die Beschränkung von und m ist äquivalent zu der natürlichen Bedingung E [ X i X j ] > 0 .CmE[XiXj]>0

Zen
quelle
Großartig, Paulo! Sie haben sowohl eine funktionierende Lösung als auch die richtige Bedingung für die Kovarianzmatrix, die auch diese Frage beantwortet . Log-Normalen erweisen sich am Ende als handlicher als Gammas.
Xi'an
3

Eigentlich habe ich definitiv eine Lösung für Fußgänger.

  1. Beginnen Sie mit und wählen Sie die beiden Parameter aus, um sie an die Werte von E [ X 1 ] , var ( X 1 ) anzupassen .X1Ga(α11,β1)E[X1]var(X1)
  2. Nimm und wählen Sie die drei Parameter aus, um die Werte von E [ X 2 ] , var ( X 2 ) und cov ( X 1 , X 2 ) anzupassen .X2|X1Ga(α21X1+α22,β2)E[X2]var(X2)cov(X1,X2)
  3. Nimm und wähle die vier Parameter aus, um die Werte von E [ X 3 ] , var ( X 3 ) , cov ( X 1 ) anzupassen , X 3 ) und cov ( X 2 , XX3|X1,X2Ga(α31X1+α32X2+α33,β3)E[X3]var(X3)cov(X1,X3) .cov(X2,X3)

und so weiter ... Angesichts der Einschränkungen der Parameter und der nichtlinearen Natur der Momentgleichungen kann es jedoch vorkommen, dass einige Momentensätze keinem akzeptablen Parametersatz entsprechen.

Wenn zum Beispiel , habe ich das Gleichungssystem β 1 = μ 1 / σ 2 1k=2

β1=μ1/σ12,α11μ1β1=0

α22=μ2β2α21μ1,α21=(σ12+μ1μ2μ2)σ12+μ12μ1β2
(σ12+μ1μ2μ2)2(σ12+μ12μ1)2σ12+μ2β2=σ22.
μΣR+2

update (04/04): deinst hat diese frage als neue frage im mathematikforum umformuliert .

Xi'an
quelle
1
f(X|θ)=h(x)eθTXA(θ).
AhA
@deinst: (+1) Haben Sie ein Beispiel, in dem diese exponentielle Familienrepräsentation direkt ausgenutzt werden kann?
Xi'an,
2
(X,Y)FR+0<μ<ρP(X>2μ)>0
1
ΣR+k
2
XYFμP(X>2μ)>0YX
2

OK, das ist eine Antwort auf Xi'ans Kommentar. Es ist zu lang und hat zu viel TeX, um ein bequemer Kommentar zu sein. Vorbehalt Lector: Es ist so gut wie sicher, dass ich einen Algebrafehler gemacht habe. Dies scheint nicht ganz so flexibel zu sein, wie ich zuerst dachte.

Lassen Sie uns eine Verteilungsfamilie in erstellen.R+3

f(x|θ)=h(x)eθTxA(θ)
Let x=(x,y,z) and θ=(θ1,θ2,θ3). Let
h(x)=cx1e11x2e21x3e31+dx1f11x2f21x3f31
be a two term polynomial where ei,fi are real numbers greater than 0 for all i. Then we find that
A(θ)=log(cΓ(e1)θ1e1Γ(e2)θ2e2Γ(e3)θ3e3+dΓ(f1)θ1f1Γ(f2)θ2f2Γ(f3)θ3f3).

Now, for convenience let us define

c=cΓ(e1)Γ(e2)Γ(e2)θ1f1θ2f2θ3f3
and
d=dΓ(f1)Γ(f2)Γ(f2)θ1e1θ2e2θ3e3

Now, as the mean of our distribution is the gradient of A, we have μX=e1c+f1dθ1(c+d), μY=e2c+f2dθ2(c+d), and μZ=e3c+f3dθ3(c+d). And as the covariance is the Hessian of A, we have

σX2=(e1c+f1d)(c+d)+(e1f1)2cdθ12(c+d)2
and
Cov(X,Y)=(e1f1)(e2f2)cdθ1θ2(c+d)
(the other terms of the covariance matrix obtained by changing subscripts in the obvious way).

This does not seem to be quite enough flexibility to get any covariance matrix. I need to try another term in the polynomial (but I suspect that also may not work (obviously I need to think about this more)).

deinst
quelle
Four parameters (θ1,θ2,θ3,c) for five constraints...?
Xi'an
@xian There are the 6 exponents ei and fi as well.
deinst
I am slightly (?) confused: you did not process the exponents as parameters of the exponential family. But indeed you can change those powers as you wish towards getting the 9 moment equations right.
Xi'an
@Xi'an You are correct, I did not process them as parameters of the exponential family. Doing so would have made the family no longer a natural family, and including them would have just muddled the algebra for comuting the moment equations (which was muddled enough to begin with).
deinst