Angenommen, wir haben eine multivariate Normalzufallsvektor
Mit & mgr; ∈ R k und k × k vollem Rang symmetrischepositiv definite Matrix Σ = ( σ i j ) .
(logX1,…,logXk)∼N(μ,Σ),
μ∈Rkk×kΣ=(σij)
Für die lognormal , ist es nicht schwer , zu beweisen , dass
m i : = E [ X i ] = e μ i + σ i i / 2(X1,…,Xk)c i j : = Cov [ X i , X j ] = m i
mi:=E[Xi]=eμi+σii/2,i=1,…,k,
cich j: = Cov [ Xich, Xj] = michmj( eσich j−1),i,j=1,…,k,
und daraus folgt, dass .cij>−mimj
Daher können wir die umgekehrte Frage stellen: Wenn und k × k symmetrische positive definite Matrix C = ( c i j ) gegeben sind, wird c i j > - m i m erfüllt j , wenn wir
μ i = log m i - 1 lassenm=(m1,…,mk)∈Rk+k×kC=(cij)cij>−mimjΣ i j = log ( c i j
μi=logmi−12log(ciim2i+1),i=1,…,k,
Werden wir einen lognormal Vektor mit den vorgeschriebenen Mittel und Kovarianzen haben.
σij=log(cijmimj+1),i,j=1,…,k,
Die Beschränkung von und m ist äquivalent zu der natürlichen Bedingung E [ X i X j ] > 0 .CmE[XiXj]>0
Eigentlich habe ich definitiv eine Lösung für Fußgänger.
und so weiter ... Angesichts der Einschränkungen der Parameter und der nichtlinearen Natur der Momentgleichungen kann es jedoch vorkommen, dass einige Momentensätze keinem akzeptablen Parametersatz entsprechen.
Wenn zum Beispiel , habe ich das Gleichungssystem β 1 = μ 1 / σ 2 1k=2
update (04/04): deinst hat diese frage als neue frage im mathematikforum umformuliert .
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OK, das ist eine Antwort auf Xi'ans Kommentar. Es ist zu lang und hat zu viel TeX, um ein bequemer Kommentar zu sein. Vorbehalt Lector: Es ist so gut wie sicher, dass ich einen Algebrafehler gemacht habe. Dies scheint nicht ganz so flexibel zu sein, wie ich zuerst dachte.
Lassen Sie uns eine Verteilungsfamilie in erstellen.R3+
Now, for convenience let us define
Now, as the mean of our distribution is the gradient ofA , we have
μX=e1c′+f1d′θ1(c′+d′) , μY=e2c′+f2d′θ2(c′+d′) , and μZ=e3c′+f3d′θ3(c′+d′) . And as the covariance is the Hessian of A , we have
This does not seem to be quite enough flexibility to get any covariance matrix. I need to try another term in the polynomial (but I suspect that also may not work (obviously I need to think about this more)).
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