Wie heißt dieses Korrelations- / Assoziationsmaß zwischen binären Variablen?

Es gibt mehrere Maßnahmen der Assoziation (oder Kontingenz oder Korrelation) zwischen zwei binären Zufallsvariablen und , unter anderem$X$$Y$

• Pearson- Phi-Koeffizient
  

• Cramérs V.

Ich frage mich, wie sich die folgende Zahl auf bekannte Maßnahmen bezieht, ob sie statistisch interessant ist und unter welchem ​​Namen sie (möglicherweise) diskutiert wird:$\kappa$

mitdie Anzahl der Abtastwerte mit der Eigenschaft oder der Eigenschaft jedoch nicht beide (exklusives ODER, symmetrische Differenz), die Gesamtzahl der Abtastwerte. Wie der Phi-Koeffizient zeigt eine perfekte Übereinstimmung oder Nichtübereinstimmung an, und zeigt keine Beziehung an$|X \triangle Y|$$X$$Y$$N$$\kappa = ± 1$$\kappa = 0$

Unter Verwendung der a, b, c, d-Konvention des 4-fach-Tisches, wie hier ,

               Y
             1   0
            -------
        1  | a | b |
     X      -------
        0  | c | d |
            -------
a = number of cases on which both X and Y are 1
b = number of cases where X is 1 and Y is 0
c = number of cases where X is 0 and Y is 1
d = number of cases where X and Y are 0
a+b+c+d = n, the number of cases.

ersetzen und bekommen

$1-\frac{2(b+c)}{n} = \frac{n-2b-2c}{n} = \frac{(a+d)-(b+c)}{a+b+c+d}$ = Hamann-Ähnlichkeitskoeffizient . Triff es zB hier . Zitieren:

Hamann-Ähnlichkeitsmaß. Dieses Maß gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Merkmal in beiden Elementen den gleichen Zustand aufweist (in beiden vorhanden oder in beiden nicht vorhanden), abzüglich der Wahrscheinlichkeit, dass ein Merkmal in beiden Elementen unterschiedliche Zustände aufweist (in dem einen vorhanden und in dem anderen nicht vorhanden). HAMANN hat einen Bereich von -1 bis +1 und ist monoton mit der Ähnlichkeit von Simple Matching (SM), Sokal & Sneath 1 (SS1) und Rogers & Tanimoto (RT) verwandt.

Vielleicht möchten Sie die Hamann-Formel mit der in den Begriffen a, b, c, d angegebenen Phi-Korrelation (die Sie erwähnen) vergleichen. Beide sind "Korrelations" -Maßnahmen - von -1 bis 1. Aber schauen Sie, Phis Zähler nähert sich nur dann 1, wenn sowohl a als auch d groß sind (oder ebenfalls -1, wenn sowohl b als auch c groß sind): Produkt, Sie wissen ... Mit anderen Worten, die Pearson-Korrelation und insbesondere die dichotome Datenhypostase Phi reagieren empfindlich auf die Symmetrie der Randverteilungen in den Daten. Hamanns Zähler , der Summen anstelle von Produkten hat, ist dafür nicht empfindlich: auch nicht$ad-bc$$(a+d)-(b+c)$von zwei Summanden in einem Paar, das groß ist, reicht aus, damit der Koeffizient nahe 1 (oder -1) erreicht. Wenn Sie also ein "Korrelations" -Maß (oder Quasi-Korrelationsmaß) wünschen, das der Form der Randverteilungen trotzt, wählen Sie Hamann anstelle von Phi.

Illustration:

Crosstabulations:
        Y
X    7     1
     1     7
Phi = .75; Hamann = .75

        Y
X    4     1
     1    10
Phi = .71; Hamann = .75

Hubalek, Z. Assoziations- und Ähnlichkeitskoeffizienten, basierend auf binären Daten (Anwesenheit / Abwesenheit): Eine Bewertung (Biol. Rev., 1982) überprüft und bewertet 42 verschiedene Korrelationskoeffizienten für binäre Daten. Nur 3 von ihnen erfüllen grundlegende statistische Anforderungen. Leider wird das Problem der PRE-Interpretation (Proportional Reduction of Error) nicht diskutiert. Für die folgende Kontingenztabelle:

        present  absent

present    a       b

absent     c       d

Die Assoziationsmaßnahme sollte folgende zwingende Bedingungen erfüllen:$r$

1. $r(J,K) \le r(J,J) \quad\forall J, K$

2. $\min(r)$ sollte bei und bei$a = d = 0$$\max(r)$$b = c = 0$

3. $r(J,K) = r(K,J) \quad \forall K,J$

4. Unterscheidung zwischen positiver und negativer Assoziation

5. $r$ sollte für beide Teilmengen und linear mit (beachten Sie, dass Bedingung 4 verletzt)$\sqrt{\chi^2}$$ad-bc < 0$$ad-bc >= 0$$\chi^2$

und im Idealfall die folgenden nicht obligatorisch:

• Der Bereich von sollte entweder , oder$r$$\left\{ -1 \dots +1 \right\}$$\left\{0 \dots +1 \right\}$$\left\{0 \dots \infty \right\}$

• $r(b=c=0) > r(b = 0 \veebar c = 0)$

• $r(a=0) = min(r)$ (strenger als 2) oben)

• $r(a+1)-r(a) = r(a+2)-r(a+1)$

• $r(a=0,b,c,d), r(a=1,b-1,c-1,d+1), r(a=2,b-2,c-2,d+2)\ldots$ sollten glatt sein

• homogene Verteilung von in der Permutationsprobe$r$

• Zufallsstichproben aus Populationen mit bekanntem : sollten selbst in kleinen Stichproben eine geringe Variabilität aufweisen$a,b,c,d$$r$

• einfache Berechnung, geringe Computerzeit

Alle Bedingungen werden von Jaccard , Russel & Rao (beide erfüllt Bereich ) und McConnaughey (Bereich )$\left( \frac{a}{a+b+c} \right)$$\left( \frac{a} {a+b+c+d} \right)$$\left\{0 \dots +1 \right\}$$\left( \frac{a^2 - bc}{(a+b) \times (a+c)}\right)$$\left\{ -1 \dots +1 \right\}$