Vereinfache die Summe der Kombinationen mit demselben n, allen möglichen Werten von k

Gibt es eine Möglichkeit, diese Gleichung zu vereinfachen?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

Oder allgemeiner

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics Idr
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Speiseeis-Geschäft produziert unflavored Eis und fügt dann in einer oder mehrere von 5 Geschmackskonzentraten (Vanille, Schokolade, Fudge, Minze, jamoca) die verschiedenen Eissorten zum Verkauf im Laden zu erstellen. Die Anzahl der verschiedenen Geschmacksrichtungen ist also . Versuchen Sie, die Anzahl der Aromen von Hand zu berechnen. Identifizieren Sie für zusätzliche Gutschrift das Geschäft.

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$

Dilip Sarwate

Antworten:

Sehen

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

was sagt

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Sie können dies mit dem Binomialsatz beweisen, wobei . $x=y=1$

Da nun für ein beliebiges , folgt dies $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

In deinem Fall ist , also ist die Antwort . $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

Makro
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Vielen Dank. Ich habe versucht, alle möglichen Mengen von Eingabefunktionen für eine Regression herauszufinden, also beginne ich mit Statistiken, aber ich nehme an, diese Frage ist nicht per se Statistik.

Idr

Kein Problem. Bitte überlegen Sie, ob Sie Antworten, die Sie hilfreich fanden, positiv bewerten und / oder akzeptieren möchten :)

Makro

Natürlich. Ich glaube auch, dass dein Ich k sein sollte.

Idr

du hast recht - fixiert.

Makro

Ein einfacher Weg, dies zu sehen, ist: Sie nehmen jedes Element (1) oder nicht (0). Sie können also alle Binärzahlen mit n Bits darstellen: 2 ^ n. Und dies ergibt alle Kombinationen mit einem entfernten Gegenstand plus alle Kombinationen mit 2 entfernten Gegenständen und so weiter. = Summe von C (k / N).

Snicolas

Hausaufgaben?

Hinweis:

Denken Sie an den Binomialsatz:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

$x^ky^{n-k}$

Erik
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