Priors gewinnen ... mit Geld!

Angenommen, ich habe 'Experten', von denen ich eine vorherige Verteilung auf eine Variable auslösen möchte . Ich möchte sie mit echtem Geld motivieren . Die Idee ist, die Priors zu entlocken, Realisierungen der Zufallsvariablen und dann eine vorgegebene "Geldbörse" unter den Experten aufzuteilen, basierend darauf, wie gut ihre Priors mit den Beweisen übereinstimmen. Welche Methoden werden für diesen letzten Teil vorgeschlagen, um die Prioritäten und Beweise auf einen Auszahlungsvektor abzubilden?$k$$X$$n$$X$

Im Sinne meines obigen Kommentars halte ich einen Prognosemarkt für das Richtige . Sie sollten Wertpapiere verkaufen, die eine feste Auszahlung haben, um die Genauigkeit der Vorhersagen zu gewährleisten. Sie können Standardmaße für die Wahrscheinlichkeitsentfernung verwenden, wie sie von Daniel Johnson in seiner Antwort erwähnt wurden. Es geht jedoch darum, die Auszahlungen in Form von Wertpapieren festzulegen und Maßstäbe im Voraus festzulegen (verwenden Sie vorzugsweise nur binäre Ereignisse wie passiert oder nicht). Auf diese Weise wissen Sie , dass jemand, der bereit ist, X für ein Wertpapier zu zahlen , das $ 1,00 zahlt, wenn das von ihm abgedeckte Ereignis tatsächlich eintritt, dem Ereignis, das das Wertpapier abdeckt, die Wahrscheinlichkeit X zuweist. Die Marktliquidität wird dafür sorgen, wie die Wertpapiere unter den Experten verteilt werden.$A$$\$$

Ich denke, dies ist besser als ein fester Auszahlungsvektor, wie Sie ihn für ein Golfturnier haben könnten. Der Grund dafür ist, dass es bei einem Golfturnier nur darauf ankommt, wie gut Sie sich gegen die Konkurrenz behaupten, und nicht auf Ihre Gesamtpunktzahl. Wenn Sie Anreize für möglichst genaue frühere Überzeugungen schaffen möchten, möchten Sie nicht, dass die Leute denken, sie müssten sich nur gegenseitig übertreffen, um den Preis zu erhalten. Sie möchten, dass sie bereit sind, ihr eigenes Geld zu setzen, um Auszahlungen zu erhalten, weil sie es dann tun müssen selbst an ihre vorherige Bewertung glauben, nicht nur, dass ihre vorherige Bewertung besser ist als die anderer.

Das Schlüsselwort, nach dem gesucht werden muss, sind Bewertungsregeln : Dies sind Funktionen zum Bewerten und Belohnen probabilistischer Vorhersagen, und es wurde bis in die 50er Jahre viel an dem Thema gearbeitet. Die Hauptsache, die Sie überprüfen müssen, ist, dass es richtig ist, dass der Experte, von dem Sie den Prior herausfordern, den Anreiz hat, ehrlich zu sein.

Es gibt eine ganze Reihe möglicher richtiger Bewertungsregeln: Eine der einfachsten ist die logarithmische Bewertungsregel: Sie belohnen den Experten mit einer (linearen Funktion) der Protokollwahrscheinlichkeit, die er dem Ereignis zugewiesen hat.

Wenn die wahre Verteilung demjenigen bekannt ist, der das Geld bezahlt, wäre eine natürliche Statistik die relative Entropie des gegebenen Prior und die wahre Verteilung. Dann könnte die Auszahlung nur eine monoton abnehmende Funktion der relativen Entropie sein.

Ich vermute jedoch, dass Sie an dem Fall interessiert sind, in dem die wahre Verteilung unbekannt ist und Auszahlungen nur anhand der Datenpunkte entschieden werden müssen . Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, die Summe der Wahrscheinlichkeit der Datenpunkte unter jeder vorherigen Verteilung zu berücksichtigen. Formal gesehen ist .$n$$\text{score}(\text{prior } j) = \sum^n_{i=1}P_j(X = x_i)$

Eine andere Methode wäre der ersten sehr ähnlich, bei der ich davon ausgegangen bin, dass wir die Verteilung von . Da wir Datenpunkte haben, können wir diese Informationen verwenden, um die wahre Verteilung unter Verwendung der Kernel-Dichteschätzung zu approximieren . Die relative Entropie kann dann zwischen der geschätzten Verteilung und jedem der von den Experten bereitgestellten Prioritäten berechnet werden.$X$$n$