Ich möchte eine synthetische Zeitreihe generieren. Die Zeitreihe muss eine Markov-Kette mit einer Gamma-Randverteilung und einem AR (1) -Parameter von . Kann ich dies tun, indem ich einfach eine Gammaverteilung als Rauschbegriff in einem AR (1) -Modell verwende, oder muss ich einen differenzierteren Ansatz verwenden?
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Antworten:
Man könnte vermuten (ich auch anfangs), dass ja, aber dass der AR (1) -Prozess neue Parameter haben wird. Für Form und Skala sei . Schreiben Sie .s g t ∼ Γ ( a , s ) ˜ g t = g t - E ( g t )ein s Gt∼ Γ ( a , s ) G~t= gt- E.( gt)
Dann kann ein AR (1) in , werden, auch als Erinnere und . Durch Eigenschaften von AR (1) -Prozessen ist und Lösen des Systems von Gleichungen der ersten beiden Momente einer Gammaverteilung für ihre beiden Parameter ergibt neue Formparameter von , und .y t = ρ y t - 1 + g t y t = E ( g t ) + ρ y t - 1 + ˜ g t E ( g t ) = a s V a r ( g t ) = a s 2 E ( y t ) = a sGt yt= ρ yt - 1+ gt
Dieses Argument ist jedoch unvollständig, da es nicht zeigt, dass tatsächlich . Schreiben Sie grundsätzlich die Darstellung damit kann gesehen werden als eine gewichtete Reihe von demeaned Gamma Meine Lektüre der Beiträge rvs wie dies deutet darauf hin (siehe auch die anderen neueren Antworten) , dass dies kein Gamma variate ist. Γ M A ( ∞ ) y t = a syt Γ MA(∞)
Eine kleine Simulation legt jedoch nahe, dass der Ansatz eine ziemlich gute Annäherung liefert:
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plot(grid,dgamma(grid,shape=shape.y,scale=scale.y), lwd=2, col="red", type = "l")
undlines(density(y), type="l", col="lightblue", lwd=2)
deutet jedoch darauf hin, dass es auch bei sehr großen Daten eine Diskrepanz gibtn
, wenn der Kernel-Dichteschätzer vondensity
in Ordnung sein sollte.Ich habe jetzt die Antwort auf diese Frage, die ich gestellt habe, aber sie führt mich zu einer weiteren Frage.
Die Lösung lautet also zunächst wie folgt:
Für eine stationäre Markov-Kette mit einer ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von bei gegeben durch:Γ[α,p] Pt x
dann ist das bedingte PDF von bei bei $ P_t = u:Pt+1 x
wobei die modifizierte Bessel-Funktion bezeichnet. Dies stellt eine Markov - Kette mit einer Gamma - Randverteilung, und eine AR - Korrelationsstruktur in dem ist .Iν ρ(1) ρ
Weitere Einzelheiten hierzu finden sich in einem ausgezeichneten Artikel von David Warren, der 1986 im Journal of Hydrology veröffentlicht wurde, "Outflow Skewness in nicht saisonalen linearen Reservoirs mit gamma-verteilten Zuflüssen" (Band 85, S. 127-137; http: //) www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022169486900806# ).
Das ist großartig, weil es meine anfängliche Frage beantwortet. Für die Systeme, die ich mit diesem PDF darstellen möchte, müssen jedoch synthetische Serien generiert werden. Wenn die Form- und Skalierungsparameter der Verteilung groß sind, ist dies unkompliziert. Wenn ich jedoch möchte, dass die Parameter klein sind, kann ich keine Serie mit den entsprechenden Merkmalen generieren. Ich benutze MATLAB, um dies zu tun und der Code ist wie folgt:
Wenn ich viel größere Zahlen für die Gammaverteilungsparameter verwende, kommt der Rand genau heraus, aber ich muss kleine Werte verwenden. Irgendwelche Gedanken darüber, wie ich das machen kann?
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Es gibt verschiedene Möglichkeiten, einen Markov-Prozess erster Ordnung mit Gammarändern zu erhalten. Eine sehr gute Referenz zu diesem Thema ist das Papier von GK Grunwald, RJ Hyndman und LM Tedesko: Eine einheitliche Sicht auf AR (1) -Modelle .
Wie Sie sehen werden, ist die klassische "Innovationsform" nicht der einfachste Weg, den Markov-Übergang anzugeben. , es sei denn, wird als zufällig genommen. Verwendung gut ausgewählter Distributionen; Beta für und Gamma für , man kann eine Gamma-Marge erhalten.yt=ϕyt−1+εt p(yt|yt−1) ϕ ϕ εt
Ein berühmter zeitkontinuierlicher AR (1) -Prozess mit Gamma-Rand ist der Schuss-Rausch-Prozess mit exponentiellen Schritten, der beispielsweise in der Hydrologie weit verbreitet ist und sich auf den Poisson-Prozess bezieht. Dies kann auch mit einer zeitdiskreten Stichprobe verwendet werden. Es erscheint dann als Zufallskoeffizient AR (1) mit gemischter Verteilung für die Innovation.
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A Copula inspiriert Idee wäre, eine Gaußsche AR (1) Prozeß zu transformieren, sagen wo ist wobei so dass die Randverteilung von zu einem neuen Prozess wobei ist Die Quantilfunktion der Gammaverteilung und ist die kumulative Standardfunktion der normalen Dichte.w t N ( 0 , σ 2 w ) σ 2 w = 1 - ϕ 2 x t ∼ N ( 0 , 1 ) y t = F - 1 ( Φ ( x t) ) ; a , s ) ) F - 1 Φ
Während der resultierende Prozess die Markov-Eigenschaft haben würde, wäre er nicht AR (1), da seine partielle Autokorrelationsfunktion nicht für Verzögerungen größer als 1 abschneidet, wie in der folgenden Simulation gezeigt:yt
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