Zerlegen der Normalverteilung

Gibt es eine Nur-Positiv-Verteilung, so dass die Differenz zweier unabhängiger Stichproben von dieser Verteilung normal verteilt ist? Wenn ja, hat es eine einfache Form?

distributions probability Martin O'Leary
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Interessante Frage! Die Normalverteilung ist unendlich zerlegbar, dh Sie können sie immer als die Verteilung einer Summe

einer beliebigen Anzahl

von Zufallsvariablen schreiben . Aber das ist nicht die Frage.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

Xi'an,

Wenn Sie zur Momenterzeugungsfunktion gelangen, ist die Frage, ob

ist oder nicht

ermöglicht eine Lösung (in

), die eine momenterzeugende Funktion einer positiven Variablen ist ...

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

Xi'an

Sie haben Recht, @Dilip: Ein Unterschied von Halbnormalen hat keine Normalverteilung. Das Problem liegt nicht in der Varianz des Unterschieds: Die genaue Form der Verteilung ist nicht normal (ihre Kurtosis ist zu groß).

whuber

Obwohl dies offensichtlich ist, kann es erwähnenswert sein, dass die Aussage ungefähr korrekt ist. Schließlich wird die Differenz eines

variabel und eine

Variable einen hat

Verteilung und durch die Wahl

ausreichend groß ist , können wir machen Die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Variablen negativ ist, ist so gering wie gewünscht.

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

whuber

Antworten:

Die Antwort auf die Frage lautet Nein und ergibt sich aus einer bekannten Charakterisierung von Normalverteilungen.

Angenommen, und sind unabhängige Zufallsvariablen. Dann sind es auch und unabhängige Zufallsvariablen, und natürlich können wir als schreiben , die Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen. Nach einem von P. Lévy vermuteten und von H. Cramér bewiesenen Theorem (siehe Feller, Kapitel XV.8, Satz 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

Wenn und unabhängige Zufallsvariablen sind und normalverteilt ist, sind sowohl als auch normalverteilt. $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

Das OP fragt, ob es positive Zufallsvariablen und so dass normalverteilt ist. Aber selbst wenn wir auf Positivität und identische Verteilungen verzichten und nur die Unabhängigkeit beibehalten, erfordert die Normalität von , dass sowohl als auch normale Zufallsvariablen sind. Wie Feller sagt, "kann die Normalverteilung nur auf triviale Weise zerlegt werden." $X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

Dilip Sarwate
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Ich hatte gehofft, die Antwort wäre ja, aber danke! Ich habe keinen einfachen Zugang zu einer Kopie von Feller - ist es möglich, einen Beweis des Theorems zu skizzieren? Es scheint ziemlich eingängig zu sein.

Martin O'Leary

Sogar Feller fügt den Originalbeweis nicht hinzu, der behauptet, dass er auf der analytischen Funktionstheorie beruht und sich daher von seiner Herangehensweise an charakteristische Funktionen stark unterscheidet.

Dilip Sarwate

Ich dachte, das wäre der Fall, aber es öffnet die Tür für abhängige Variablen. Ich habe versucht, eine Möglichkeit zu finden, die Abhängigkeit zwischen zwei positiven Halbnormalen zu konstruieren, konnte sie jedoch nicht zum Funktionieren bringen.

Michael R. Chernick

na ja, vielleicht sollte mich jemand mehr interessieren, es zu lösen

Michael R. Chernick

Ich werde dies zu einer Frage machen und dann können Sie Ihre Antwort formulieren. Ich verfolge nicht ganz, wie diese Fugendichte aussieht, und nimmst du Z = | X | - | Y |?

Michael R. Chernick