Wie man beweist, ob der Mittelwert einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion existiert

Es ist bekannt, dass bei einer reellen Zufallsvariablen mit pdf der Mittelwert von (falls vorhanden) durch $X$ $f$ $X$

E [X] = \int_{R} x f (x) d x .

$\begin{equation} \mathbb{E}[X]=\int_{\mathbb{R}}x\,f(x)\,\mathrm{d}x\,. \end{equation}$

Allgemeine Frage: Wenn man das obige Integral nicht in geschlossener Form lösen kann, sondern einfach feststellen möchte, ob der Mittelwert existiert und endlich ist, gibt es eine Möglichkeit, dies zu beweisen? Gibt es (vielleicht) einen Test, den ich auf den Integranden anwenden kann, um festzustellen, ob bestimmte Kriterien für die Existenz des Mittelwerts erfüllt sind?

Anwendungsspezifische Frage: Ich habe das folgende PDF, für das ich feststellen möchte, ob der Mittelwert existiert:

f (x) = \frac{| σ_{2}^{2} μ_{1} x + μ_{2} σ_{1}^{2} |}{σ_{1}^{3} σ_{2}^{3} a^{3} (x)} ϕ (\frac{μ_{2} x - μ_{1}}{σ_{1} σ_{2} a (x)}) for x \in R,

$\begin{equation} f(x)=\frac{|\sigma_{2}^{2}\mu_{1}x+\mu_{2}\sigma_{1}^{2}|}{\sigma_{1}^{3}\sigma_{2}^{3}a^{3}(x)}\,\phi\left(\frac{\mu_{2}x-\mu_{1}}{\sigma_{1}\sigma_{2}a(x)}\right)\qquad \text{for}\ x\in\mathbb{R}\,, \end{equation}$

Dabei ist , , und . $\mu_{1},\mu_{2}\in\mathbb{R}$ $\sigma_{1},\sigma_{2}>0$ $a(x)=\left(\frac{x^{2}}{\sigma_{1}^{2}}+\frac{1}{\sigma_{2}^{2}}\right)^{1/2}$ $\phi(g(x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-g^{2}(x)/2}$

Ich habe versucht, für den Mittelwert ohne Erfolg zu lösen.

distributions mathematical-statistics expected-value Aaron Hendrickson
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in Ihrer spezifischen Frage ist keine richtige Dichtefunktion. Angenommen, , und , , dann ist für .

f (x)

$f(x)$

μ_{1} = 1

$\mu_1 =1$

μ_{2} = 0

$\mu_2=0$

σ_{j} = 1

$\sigma_j = 1$

j = 1, 2

$j=1,2$

f (x) < 0

$f(x)<0$

x < 0

$x<0$

EliKa

@EliKa Guter Fund. Möglicherweise liegt ein Tippfehler vor. Ich werde die Frage prüfen und korrigieren. Trotzdem interessiert mich immer noch hauptsächlich das "Wie" der Frage, dh wie würde ich feststellen, ob der Mittelwert existiert und endlich ist?

Aaron Hendrickson

Sie können versuchen, oben und unten durch einige nichtnegative Funktionen und begrenzen, sodass Sie sie integrieren können. Wenn Sie , hat Ihre Verteilung einen Mittelwert. Wenn , hat Ihre Verteilung keinen Mittelwert.

| x f (x) |

$\lvert x f(x) \rvert$

u (x)

$u(x)$

b (x)

$b(x)$

u (x)

$u(x)$

\int b (x) d x = \infty

$\int b(x)dx = \infty$

Ceph

@ Ceph Das ist ein guter Vorschlag. Basiert diese Technik auf dem "Squeeze-Theorem"?

Aaron Hendrickson

@ AaronHendrickson Ähnliche Idee, aber (wie ich es verstehe) der Squeeze-Satz ist ein wenig anders. Die Verwendung des ST hier könnte folgendermaßen aussehen: Sie finden und , die gebunden haben (anstatt wie in meinem früheren Kommentar begrenzen ), so dass Sie finden können , wobei der Mittelwert Ihrer Verteilung ist. Aber das ist wahrscheinlich keine plausible Strategie, da es Ihnen schwer fallen würde, solche und zu finden . (Sie können sich nur bei einem Satz von Takt 0 von unterscheiden und sind daher wahrscheinlich nicht einfacher zu integrieren als .)

u (x)

$u(x)$

b (x)

$b(x)$

x f (x)

$xf(x)$

| x f (x) |

$\lvert x f(x) \rvert$

\int u (x) d x = \int b (x) d x = μ

$\int u(x) dx = \int b(x) dx= \mu$

μ

$\mu$

u

$u$

b

$b$

x f (x)

$xf(x)$

x f (x)

$xf(x)$

Ceph

Antworten:

Es gibt keine allgemeine Technik, aber es gibt einige einfache Prinzipien. Eine besteht darin, das Schwanzverhalten von indem es mit nachvollziehbaren Funktionen verglichen wird. $f$

Per Definition ist die Erwartung die doppelte Grenze (da und unabhängig voneinander variieren) $y$ $z$

E_{y, z} [f] = lim_{y \to - \infty, z \to \infty} \int_{y}^{z} x f (x) d x = lim_{y \to - \infty} \int_{y}^{0} x f (x) d x + lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} x f (x) d x .

$E_{y,z}[f] = \lim_{y\to-\infty,z\to\infty}\int_y^z x f(x) dx = \lim_{y\to-\infty}\int_y^0 x f(x) dx+ \lim_{z\to\infty}\int_0^z x f(x) dx.$

Die Behandlung der beiden Integrale auf der rechten Seite ist dieselbe. Konzentrieren wir uns also auf das positive. Ein Verhalten von , das einen Grenzwert sicherstellt, besteht darin, ihn mit der Potenz . Angenommen, ist eine Zahl, für die Dies bedeutet, dass es ein und ein für das wann immer . Wir können diese Ungleichung ausnutzen, indem wir die Integration in die Regionen, in denen und und in der zweiten Region anwenden: $f$ $x^{-p}$ $p$

\underset{x \to \infty}{lim inf} x^{p} f (x) > 0.

$\liminf_{x\to\infty} x^p f(x)\gt 0.$

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$

N > 1

$N\gt 1$

x^{p} f (x) \geq ϵ

$x^p f(x) \ge \epsilon$

x \in [N, \infty)

$x\in[N,\infty)$

x < N

$x\lt N$

x \geq N

$x \ge N$

\begin{aligned} \int_{0}^{z} x f (x) d x & = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x f (x) d x \\ = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x^{1 - p} (x^{p} f (x)) d x \\ \geq \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x^{1 - p} (ϵ) d x \\ = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \frac{ϵ}{2 - p} (z^{2 - p} - N^{2 - p}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \int_0^z x f(x) dx &=\int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x f(x) dx \\ &=\int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x^{1-p} \left(x^p f(x)\right) dx \\ &\ge \int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x^{1-p} \left(\epsilon\right) dx \\ &= \int_0^{N} x f(x) dx + \frac{\epsilon}{2-p}\left(z^{2-p} - {N}^{2-p}\right). }$

Vorausgesetzt, , divergiert die rechte Seite als . Wenn , ergibt das Integral den Logarithmus. $p\lt 2$ $z\to\infty$ $p=2$

\int_{N}^{z} x^{1 - 2} (ϵ) d x = ϵ (\log (z) - \log (N)),

$\int_{N}^z x^{1-2} \left(\epsilon\right) dx = \epsilon \left(\log(z) - \log(N)\right),$

was auch divergiert.

Eine vergleichbare Analyse zeigt, dass wenn für , existiert. In ähnlicher Weise können wir testen, ob ein Moment von existiert: Für existiert die Erwartung von , wenn für einige und existiert nicht, wenn für einige . Dies befasst sich mit der "allgemeinen Frage". $|x|^pf(x)\to 0$ $p\gt 2$ $E[X]$ $X$ $\alpha\gt 0$ $|X|^\alpha$ $|x|^{p+\alpha}f(x)\to 0$ $p\gt 1$ $\liminf |x|^{p+\alpha}f(x)\gt 0$ $p \le 1$

Wenden wir diese Einsicht auf die Frage an. Bei Betrachtung ist klar, dass für großes. Bei der Bewertung von können wir daher alle additiven Terme löschen, die schließlich von überschwemmt werden . Somit bis zu einer Konstante ungleich Null für $a(x)\approx |x|/\sigma_1$ $|x|$ $f$ $|x|$ $x\gt 0$

f (x) \approx \frac{μ_{1} x}{σ_{2} x^{3}} ϕ (\frac{μ_{2} x}{σ_{2} x}) = x^{- 2} \frac{μ_{1}}{σ_{2}} \exp ({(- \frac{μ_{2}}{2 σ_{2}})}^{2}) .

$f(x) \approx \frac{\mu_1 x}{\sigma_2 x^3}\phi\left(\frac{\mu_2 x}{\sigma_2 x}\right) = x^{-2}\frac{\mu_1}{\sigma_2}\exp\left(\left(-\frac{\mu_2}{2\sigma_2}\right)^2\right).$

Somit nähert sich einer Konstante ungleich Null. Durch das vorhergehende Ergebnis divergiert die Erwartung. $x^2 f(x)$

Seit ist der kleinste Wert von , dass die Arbeiten in dieser argument-- auf Null gehen für jeden --es ist klar (und mehr Eine detaillierte Analyse von wird bestätigen, dass die Divergenzrate logarithmisch ist. Das heißt, für großeund, kann durch eine lineare Kombination von und eng angenähert werden . $2$ $p$ $|x|^pf(x)$ $|x|\to\infty$ $p\lt 2$ $f$ $|y|$ $|z|$ $E_{y,z}[f]$ $\log(|y|)$ $\log(|z|)$

whuber
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