Bitten Sie um Überprüfung eines einfachen Matrixergebnisses

Angenommen, ist ein k × 1- Vektor von Zufallsvariablen. Dann überprüfen Sie bitte , ob E X ' ( E X X ' ) - 1 E X ≤ 1 ist .$X$$k\times 1$$EX^{\prime}(EXX^{\prime})^{-1}EX\leq 1$

Wenn dies ein bekanntes Ergebnis, dass ( E X ) 2 ≤ E X 2 ist . Aber wie soll ich das generell behaupten?$K=1$$(EX)^{2}\leq EX^{2}$

Lassen und Σ = E ( X X T ) - μ μ T . Dann müssen wir μ T ( Σ + μ μ T ) - 1 μ ≤ $\mu = EX$$\Sigma = E(XX^T) - \mu\mu^T$

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu \leq 1.$$

$C = E(XX^T)$$\Sigma = C - \mu\mu^T$$C^{-1}$$\Sigma^{-1}$$\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$$\mu^T C^{-1} \mu = 1$$\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu = \mu^T \Sigma^{-1}\mu - \mu^T \left(\frac{\Sigma^{-1}\mu\mu^T\Sigma^{-1}}{1 + \mu^T \Sigma^{-1}\mu}\right)\mu = c - \frac{c^2}{1+c} = \frac{c}{1+c} < 1$$ $\Sigma^{-1}$$c \geq 0$