Splines in GLM und GAM

Ist es falsch, dass Splines nur in GAM-Modellen und nicht in GLM-Modellen verfügbar sind? Ich habe das vor einiger Zeit gehört und mich gefragt, ob dies nur ein Missverständnis ist oder ob es eine Wahrheit ist. Hier ist eine Illustration:

Du liegst falsch. Splines haben eine lineare Darstellung mit abgeleiteten Kovariaten. Ein quadratischer Trend ist beispielsweise nicht linear, kann jedoch in einem linearen Modell mit modelliert werden X ] = β 0 + β 1 X + β 2 X 2 , somit werden X und sein Quadrat in ein lineares Modell eingegeben.$E[Y|X] = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2$$X$

Der Spline kann einfach als ausgefeilte Parametrisierung einer oder mehrerer kontinuierlich oder pseudokontinuierlich bewerteter Kovariaten angesehen werden.

@ AdamOs Antwort ist richtig, da Spline-basierte Anpassungen durchaus im Standard-GLM-Framework möglich sind. Das soll nicht heißen, dass GAMs nur ein Sonderfall von GLMs sind! Während es eine Reihe von Modellen gibt, die genau identisch sind und sowohl als GAM als auch als GLM mit einer Spline-Erweiterung der Kovariaten gerahmt werden können, gibt es einige GAM-Modelle, die im Standard-GLM-Framework nicht verfügbar sind.

Beispielsweise könnte man ein GAM-Modell unter Verwendung eines Glättungssplines für jede der Kovariaten anpassen. Dies führt im Grunde zu einer Spline-Erweiterung der Variablen, jedoch mit einem Nachteil für die zweiten Ableitungen. Dies führt zu einem Modell, das etwas außerhalb des Standard-GLM-Frameworks liegt.

Darüber hinaus wird es häufig als Standardverfahren betrachtet und in die meisten GAM-Bibliotheken eingebaut, um Glättungsparameter (dh Spline-Freiheitsgrade usw.) anzupassen, indem verschiedene Maße für Fehler außerhalb der Stichprobe optimiert werden, während die GLM-Formulierung typischerweise den kovariaten Raum berücksichtigt Fest.