Warum ist ln [E (x)]> E [ln (x)]?

13

Wir beschäftigen uns mit der lognormalen Verteilung in einem Finanzkurs und in meinem Lehrbuch heißt es nur, dass dies wahr ist, was ich irgendwie frustrierend finde, da mein mathematischer Hintergrund nicht sehr ausgeprägt ist, ich aber die Intuition will. Kann mir jemand zeigen, warum das so ist?

Chisq
quelle
1
Bereits hier beantwortet: math.stackexchange.com/questions/21063/…
Laksan Nathan
20
ist eine konkave Funktion. Suchen Sie nach Jensens Ungleichung: en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequalityln
kjetil b halvorsen
Inathan: Oh, tut mir leid, ich habe das nicht gefunden, als ich gesucht habe.
Chisq

Antworten:

26

Denken Sie daran, dass ex1+x

E[eY]=eE(Y)E[eYE(Y)]eE(Y)E[1+YE(Y)]=eE(Y)

Also eE(Y)E[eY]

Wenn wir nun , haben wir:Y=lnX

eE(lnX)E[elnX]=E(X)

nimm jetzt logs von beiden seiten

E[ln(X)]ln[E(X)]


Alternative:

lnX=lnXlnμ+lnμ (wobei )μ=E(X)

=ln(X/μ)+lnμ

=ln[Xμμ+1]+lnμ

Xμμ+lnμ(da )ln(t+1)t

Nehmen Sie nun die Erwartungen beider Seiten an:

E[ln(X)]lnμ


Eine Illustration (die den Zusammenhang mit Jensens Ungleichung zeigt):

( Hier sind die Rollen von X und Y vertauscht, damit sie mit den Plotachsen übereinstimmen. Eine bessere Planung hätte ihre Rollen darüber vertauscht, damit der Plot direkter mit der Algebra übereinstimmt. )

scatter plot of y=exp(x) vs x for a sample, showing the inequality arising from the curvature in that relationship

Die durchgezogenen farbigen Linien stellen Mittelwerte auf jeder Achse dar.

XYY

Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
quelle