Ist dies auch eine * notwendige * Bedingung, um ein Bayes-Schätzer zu sein, oder nur eine ausreichende?

Ein Bayes-Schätzer minimiert das Bayes-Risiko. Insbesondere genau dann, wenn

$$\delta_{\Lambda} = \arg\min \operatorname{BR}(\Lambda,\delta) := \int R(\theta, \delta) d \Lambda(\theta) = \int \left( \int L(\theta, \delta(x))dx \right) d \Lambda(\theta)$$ wobei $L(\theta, \delta(X))$ eine gegebene Verlustfunktion ist, $R(\theta, \delta)$ ist Die entsprechende Risikofunktion und $\operatorname{BR}(\Lambda, \delta)$ wird als Bayes-Risiko definiert. $\delta_{\Lambda}$ ein Bayes-Schätzer.

Satz 4.1.1 auf S. 228 von Casella, Lehmann, Theorie der Punktschätzung , sowie Satz 7.1 auf S. 22. 116 von Keener, Theoretische Statistik: Themen für einen Kernkurs , geben die folgende ausreichende Bedingung an, damit $\delta_{\Lambda}$ ein Bayes-Schätzer ist:

$$\forall x, \quad \delta_{\Lambda} = \arg\min \mathbb{E}\left[ L(\Theta, \delta(X))| X = x \right]$$

Es ist offensichtlich, warum dies eine ausreichende Bedingung ist: Wenn wir zuerst über $x$ , erhalten wir durch Monotonie der Integrale ein $\arg\min$ für $\mathbb{E}[L(\Theta, \delta(X))] = \int L(\Theta, \delta(x)) dx = R(\Theta, \delta)$ . $\theta$ wir dann über \ theta integrieren , erhalten wir ein $\arg\min$ für das Bayes-Risiko, wiederum durch Monotonie der Integrale.

Frage: Ist die obige Bedingung erforderlich, damit $\delta_{\Lambda}$ ein Bayes-Schätzer ist?

Intuitiv sehe ich keinen Grund, warum dies notwendig ist, es sei denn, wir haben zusätzliche Bedingungen, die die Eindeutigkeit ( -as) des Bayes-Schätzers garantieren . Auch die Beweise in beiden Büchern, die ich oben erwähnt habe, scheinen nur ausreichend zu sein, nicht die Notwendigkeit.$\mathcal{P}$

Allerdings Wikipedia sagt , dass: „Ein Schätzer ... gesagt wird ein Bayes - Schätzer sein , wenn sie das Bayes - Risiko bei allen Schätzern minimieren. Gleichwertig der Schätzer , die den hinteren erwarteten Verlust minimiert ... für jeden x.“ Das heißt, es scheint zu implizieren, dass die beiden Bedingungen äquivalent sind, dh dass die letztere Bedingung nicht nur ausreichend, sondern auch notwendig ist . Stimmt das überhaupt?

Erstens, wenn die Bedingung gilt fast sicher in , das gleiche Argument gilt. Daher ist der Bayes-Schätzer fast sicher definiert und kann daher auf einem beliebigen Satz von Maß Null willkürlich variieren.

$$\delta_{\Lambda} = \arg\min \mathbb{E}\left[ L(\Theta, \delta(X))| X = x \right]$$ $x$

Zweitens gibt es Situationen, in denen es mehrere Bayes-Schätzer gibt. Hier ist zum Beispiel eine Übung aus meinem Buch :

2.40 Betrachten Sie und . Zeigen Sie, dass unter dem Verlust (2.5.4) für jedes Werte von und so dass der Bayes-Schätzer nicht eindeutig ist.$\pi(\theta) = (1/3)(\mathscr{U}_{[0,1]}(\theta)+\mathscr{U}_{[2,3]}(\theta)+\mathscr{U}_{[4,5]}(\theta))$$f(x|\theta) = \theta e^{-\theta x}$$x$$k_1$$k_2$

wobei der Verlust (2.5.4)

$$\begin{eqnarray} \mathrm{L}_{k_1,k_2} (\theta ,d) = \begin{cases} k_2(\theta -d) & \text{if }\theta > d, \cr k_1(d-\theta ) &\text{otherwise.} \cr\end{cases} \end{eqnarray}$$

Drittens ist jeder Schätzer ein Bayes-Schätzer , wenn das Bayes-Risiko unendlich ist.$\min \operatorname{BR}(\Lambda,\delta)$