Warum könnten Autokovarianzen eine Zeitreihe vollständig charakterisieren?

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Ich habe in John Cochranes Zeitreihe für Makroökonomie und Finanzen gelesen, dass:

Autokovarianz kann die Zeitreihen [gemeinsame Verteilung] vollständig charakterisieren.

Ich verstehe den Zusammenhang zwischen Kovarianz und gemeinsamer Verteilung hier nicht ganz. Kann das bitte jemand erklären?

time-series autocorrelation joint-distribution Fliegende Schweine
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Ich würde wetten, dass er annimmt, dass der Prozess Gauß ist, oder?
whuber
@whuber, ja, er verwendet das ARMA-Modell zur Veranschaulichung und nimmt den Fehlerbegriff immer als weißes Rauschen an.
Fliegendes Schwein
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Weißes Rauschen allein garantiert nicht das gewünschte Ergebnis. Sie benötigen weißes Gaußsches Rauschen.
Dilip Sarwate

Antworten:

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Ein stationärer Gaußscher Prozess ist vollständig durch die Kombination seines Mittelwerts, seiner Varianz und seiner Autokorrelationsfunktion gekennzeichnet. Die Aussage, wie Sie sie lesen, ist nicht wahr. Sie benötigen die folgenden zusätzlichen Bedingungen:

  1. Der Prozess ist stationär
  2. Der Prozess ist Gaußsch
  3. der Mittelwert wird angegebenμ

Dann ist der gesamte stochastische Prozess vollständig durch seine Autokovarianzfunktion (oder äquivalent seine Varianz + Autokorrelationsfunktion) charakterisiert .σ2

Dies beruht einfach auf der Tatsache, dass jede multivariate Gaußsche Verteilung eindeutig durch ihren mittleren Vektor und ihre Kovarianzfunktion bestimmt wird. Also unter allen Bedingungen, die ich oben angegeben habe, die gemeinsame Verteilung von k Beobachtungen in der Zeitreihe eine multivariate Normalverteilung mit einem mittleren Vektor, wobei jede Komponente gleich (nach Stationarität). Jede Komponente hat eine Varianz σ 2 (wiederum nach Stationarität) und Die Kovarianzkomponenten werden durch die entsprechenden verzögerten Kovarianzen in der Autokovarianzfunktion angegeben (wieder kommt Stationarität ins Spiel, da die Autokovarianz nur von der Zeitdifferenz (oder Verzögerung) zwischen den beiden Beobachtungen abhängt, deren Kovarianz genommen wird.μσ2

Michael R. Chernick
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(+1) Ich denke, dies wird implizit in Bedingung (1) gesagt, aber Sie verlangen auch, dass konstant ist, oder? μ
Makro
@Macro Ja Stationarität, auch Stationarität mit schwachem Sinn (Kovarianz) erfordert einen konstanten Mittelwert und eine konstante Varianz.
Michael R. Chernick
@MichaelChernick, könnten wir dann die gemeinsame Verteilung des stochastischen Prozesses reproduzieren (oder den stochastischen Prozess selbst simulieren), indem wir dessen Mittelwert und Autokovarianz haben?
Fliegendes Schwein
@Flyingpig Ja für jede Teilmenge der Variablen, solange es sich um einen stationären Gaußschen Prozess handelt. Es muss kein AR-, MA- oder ARMA-Prozess sein. Es muss nur ein stationärer Gaußscher Prozess sein. Es sollte keine Überraschung sein. Dies ist eine bekannte Eigenschaft für multivariate Normalverteilungen.
Michael R. Chernick
@ Macro Ich denke, der Mittelwert der Bedingungskonstante ist unter den erforderlichen Bedingungen, die ich angegeben habe, redundant. Ich habe es gerade erwähnt, weil Sie zur vollständigen Charakterisierung des stochastischen Prozesses wissen müssen, welchen Wert der Mittelwert und die Varianz haben und nicht nur, dass beide konstant sind.
Michael R. Chernick