Entspricht die Varianz einer Summe der Summe der Varianzen?

Ist es (immer) wahr, dass

$$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$$

Die Antwort auf Ihre Frage lautet "Manchmal, aber nicht generell".

Um dies zu sehen, sei eine Zufallsvariable (mit endlichen Abweichungen). Dann,$X_1, ..., X_n$

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$$

Beachten Sie nun, dass , was klar ist, wenn Sie Überlegen Sie, was Sie tun, wenn Sie von Hand berechnen . Deshalb, ( a 1 + . . . + A n ) ⋅ ( a 1 + . . . + A n$(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j$$(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$

$$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$$

ähnlich,

$$\left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$$

damit

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$$

nach der Definition von Kovarianz.

Nun zu Ist die Varianz einer Summe gleich der Summe der Varianzen? :

• Wenn die Variablen nicht sind, ja : das heißt, für , dann ist${\rm cov}(X_i,X_j)=0$$i\neq j$

  $${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i)$$

• Wenn die Variablen korreliert sind, nein, nicht generell : Angenommen, sind zwei Zufallsvariablen mit der Varianz und wobei . Dann ist , sodass die Identität fehlschlägt.$X_1, X_2$$\sigma^2$${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$$0 < \rho <\sigma^2$${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$

• aber es ist für bestimmte Beispiele möglich : Angenommen, haben eine Kovarianzmatrix dann$X_1, X_2, X_3$

  $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right)$$ ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

Deshalb , wenn die Variablen unkorreliert sind dann die Varianz der Summe ist die Summe der Varianzen, sondern umgekehrt ist nicht allgemein wahr.

$$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$$

Wenn also die Kovarianzen auf gemittelt werden , was eine Konsequenz wäre, wenn die Variablen paarweise nicht korreliert sind oder wenn sie unabhängig sind, dann ist die Varianz der Summe die Summe der Varianzen.$0$

Ein Beispiel, in dem dies nicht zutrifft: Es sei . Sei . Dann ist .$\text{Var}(X_1)=1$$X_2 = X_1$$\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$

Ich wollte nur eine prägnantere Version des von Macro bereitgestellten Proofs hinzufügen, damit Sie leichter sehen können, was los ist. $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

Beachten Sie, dass seit$\Var(X) = \Cov(X,X)$

Für zwei beliebige Zufallsvariablen gilt:$X,Y$

X,YE(XY)=E(X)E(Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var

$$\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align}$$ Daher ist die Varianz der Summe zweier Zufallsvariablen im Allgemeinen nicht die Summe der Varianzen. Wenn jedoch unabhängig sind, dann ist , und wir haben .$X,Y$$E(XY) = E(X)E(Y)$$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

Beachten Sie, dass wir das Ergebnis für die Summe von Zufallsvariablen durch eine einfache Induktion erzeugen können .$n$

Ja, wenn jedes Paar der nicht korreliert ist, ist dies wahr.$X_i$

Siehe die Erklärung auf Wikipedia