Welche Rolle spielt MDS in der modernen Statistik?

Ich bin kürzlich auf mehrdimensionale Skalierung gestoßen. Ich versuche, dieses Tool und seine Rolle in der modernen Statistik besser zu verstehen. Hier sind ein paar Leitfragen:

• Welche Fragen beantwortet es?
• Welche Forscher sind oft daran interessiert, es zu nutzen?
• Gibt es andere statistische Techniken, die ähnliche Funktionen ausführen?
• Welche Theorie wird darum entwickelt?
• In welcher Beziehung steht "MDS" zu "SSA"?

Ich entschuldige mich im Voraus dafür, dass ich eine so gemischte / unorganisierte Frage gestellt habe, aber so ist die Art meiner gegenwärtigen Phase auf diesem Gebiet.

Falls Sie eine prägnante Antwort akzeptieren ...

Welche Fragen beantwortet es? Visuelle Abbildung paarweiser Unähnlichkeiten im euklidischen (meist) Raum geringer Dimensionalität.

Welche Forscher sind oft daran interessiert, es zu nutzen? Jeder, der entweder Punkthaufen darstellen oder einen Einblick in mögliche latente Dimensionen erhalten möchte, entlang derer Punkte differenzieren. Oder wer möchte nur eine Näherungsmatrix in Daten von Punkten und X-Variablen umwandeln.

Gibt es andere statistische Techniken, die ähnliche Funktionen ausführen? PCA (linear, nichtlinear), Korrespondenzanalyse, Mehrdimensionale Entfaltung (eine Version von MDS für rechteckige Matrizen). Sie hängen auf unterschiedliche Weise mit MDS zusammen, werden jedoch selten als Ersatz dafür angesehen. (Linear PCA und CA sind eng verwandt linearen Algebra platz- Reduktionsoperationen auf quadratische und rechteckige Matrizen sind. MDS und MDU sind ähnlich iterative nichtlineare allgemein platz- Pass Algorithmen auf quadratische und rechteckige Matrizen sind.)

$S$$T$$E$$D$$m$$S \rightarrow T =^m D+E$$E$$S$(klassisches oder einfaches MDB) oder eine Karte für viele Matrizen auf einmal mit zusätzlicher Gewichtskarte (individuelle Differenzen oder gewichtetes MDB). Es gibt auch andere Formen wie wiederholtes MDB und verallgemeinertes MDB. MDS ist also eine vielfältige Technik.

In welcher Beziehung steht "MDS" zu "SSA"? Eine Meinung dazu finden Sie auf der Wikipedia-Seite von MDS.

Update für den letzten Punkt. Dieser technische Hinweis von SPSS hinterlässt den Eindruck, dass es sich bei SSA um eine mehrdimensionale Entfaltung handelt (PREFSCAL-Prozedur in SPSS). Letzteres ist, wie ich oben bemerkt habe, MDS-Algo, das auf rechteckige (anstatt quadratische symmetrische) Matrizen angewendet wird.

@ttnphns hat einen guten Überblick verschafft. Ich möchte nur ein paar kleine Dinge hinzufügen. Greenacre hat eine Menge Arbeit mit Korrespondenzanalyse gemacht und wie es zu anderen statistischen Techniken (wie MDS, sondern auch PCA und andere) verwandt ist, Sie vielleicht einen Blick auf seine Sachen nehmen wollen (zum Beispiel diese Präsentation kann hilfreich). Darüber hinaus wird MDS in der Regel zum Erstellen eines Plots verwendet (obwohl es möglich ist, nur einige numerische Informationen zu extrahieren), und er hat ein Buch mit diesem allgemeinen Typ von Plot geschrieben und es hier kostenlos ins Internet gestellt(obwohl nur ein Kapitel über MDB-Diagramme an sich handelt). Schließlich wird es in Bezug auf eine typische Verwendung sehr häufig in der Marktforschung und Produktpositionierung verwendet, wo Forscher es deskriptiv verwenden, um zu verstehen, wie Verbraucher über die Ähnlichkeiten zwischen verschiedenen konkurrierenden Produkten denken. Sie möchten nicht, dass sich Ihr Produkt schlecht vom Rest unterscheidet.

Eine weitere Stärke ist, dass Sie mit MDS Daten analysieren können, für die Sie die wichtigen Variablen oder Dimensionen nicht kennen. Das Standardverfahren hierfür wäre: 1) die Teilnehmer sollen die Ähnlichkeit zwischen Objekten bewerten, sortieren oder direkt identifizieren; 2) die Antworten in eine Unähnlichkeitsmatrix umwandeln; 3) MDS anwenden und im Idealfall ein 2- oder 3D-Modell finden; 4) Hypothesen über die Dimensionen entwickeln, die die Karte strukturieren.

Meine persönliche Meinung ist, dass es andere Tools zur Dimensionsreduktion gibt, die normalerweise besser für dieses Ziel geeignet sind, aber dass MDS die Möglichkeit bietet, Theorien über die Dimensionen zu entwickeln, die zur Organisation von Urteilen verwendet werden. Es ist wichtig, auch den Grad der Beanspruchung (Verzerrung, die sich aus der Dimensionsreduzierung ergibt) zu berücksichtigen und in Ihr Denken einzubeziehen.

Ich denke, eines der besten Bücher über MDS ist "Applied Multidimensional Scaling" von Borg, Groenen & Mair (2013).